Extremwertaufgabe Schäfer mit 120m Zaun?
Liebe Community, ich habe diese Frage schon mal gestellt, allerdings habe ich vergessen etwas bei der Frage zu erwähnen:
Ein Schäfer möchte für seine Schafherde eine Weidefläche an einem kleinen Bach einzäunen. Dabei soll die Weidefläche
1)ein rechtwinkliges Dreieck
2)ein gleichschenkliges Dreieck sein
Für den Zaun stehen allerdings nur 120 Meter Draht zur Verfügung.
Wie lang muss der Schäfer die Seitenlängen der Weidefläche wählen, damit Sie MÖGLICHST GROSS ist?
Gesucht ist hier der Extremwert, dabei soll die Seite an der Wasserseite NICHT einbezogen werden!
Diese Aufgabe habe ich für ein Rechteck schon berechnet, hier meine Schritte:
A=xy
A(x)= x(120-2x)
A(x)=-2x2+120x allg. Formel ein. Funk.
A(x)=-2[x2-60x]
=-2[x2-60x+30 2-30 2 ]
=-2[(x-30)2-900]
A(x)=-2(x-30)+1800 Scheitelpunktsform
S (30|1800)
5 Antworten
Rechtwinklig: F = a • b / 2 und a + b = 120m
F = a • (120-a) / 2 = 60 • a – a² / 2
F’ = 0 = 60 – a >> a = b = 60m
Gleichschenklig: a = 60m
F = (a • cos(γ/2)) • (a • sin(γ/2))
F’ = 0 = a² • (-1/2 • sin²(γ/2) + 1/2 • cos²( γ/2))
tan²(γ/2) = 1
γ = 90°
Beide Dreiecke sind rechtwinklig und gleich (;-)))
Na was denn nun, Rechteck oder Dreieck?
Für ein gleichschenkliges Dreieck teilst du einfach den Draht durch 3 und fertig ist der Lack!
Für ein rechtwinkliges Dreieck versuche es mal mit dem guten, alten "Satz des Pythagoras"!
Ein Bisschen musst du auch selbst machen!
"Für ein gleichschenkliges Dreieck teilst du einfach den Draht durch 3 und fertig ist der Lack!"
Gleichschenklig ist nicht immer gleichseitig und außerdem soll zur Bachseite kein Zaun gesetzt werden (:-(((
Fläche vom rechtwinkligen Dreieck
A=1/2*a*b mit cos(a)=Ak/Hy=a/c ergibt a=cos(a)*c
sin(a)=GK/Hy=b/c ergibt b=sin(a)*c
A=1/2*cos(a)*c*sin(a)*c
A=1/2*c²*sin(a)*cos(a)
siehe Mathe-Formelbuch trigonometrische Funktionen
sin(a)*cos(b)=1/2*(sin(a-b)+sin(a+b) mit (a)=(b)
sin(a)*cos(a)=1/2*(0+sin(2*a)
A=1/2*c²*1/2*sin(2*a)=1/4*c²*sin(2*a) sin(2*a)=1 wenn (a)=45°
maximale Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks bei (a)=45° und (b)=45°
A=1/4*c² (a)=45° und (b)=45° und (g)=90°
Die längste Seite des Dreiecks bildet der Fluß
S=120 m=a+b=2*a mit a=b
a=120 m/2=60 m
zu 2) ein gleichschenkliges Dreieck kann man in 2 rechtwinklige Dreiecke aufteilen
Maximale Fläche,wenn die Fläche der beiden rechtwinkligen Dreiecke maximal wird.
also (a)=45° und (b)=45°
Daraus ergibt sich wieder ein rechtwinkliges Dreieck.
kommt ja drauf an, wo du den rechten Winkel hinsetzt;
rechter Winkel am Bach;
dann A = 1/2 • x • y Hauptbedingung
Pythagoras
x + y + wurzel(x²+y²) = 120
das wird schwierig nach y aufzulösen;
also würde ich dein berechnetes Rechteck durch eine Diagonale halbieren, dann hast du ein rechtw. Dreieck; und wenn das Rechteck maximale Fläche hat, dann hat auch des Dreieck maximale Fläche.
Ja, also und was willst du jetzt wissen?
Ich weiß nicht, wie ich auf die Formel für das rechtwinklige bzw. gleichschenklige Dreieck kommen soll :)