Holomorphie und Cauchyscher Integralsatz?

Kann mir jemand bitte die Aufgaben erklären bzw mal vorrechnen, ich finde nirgendwo eine Erklärung. Woran erkenne ich dass das integral 0 wird also wann ist es geschlossen und Doppelpunktfrei?

Answer 1

[Rammstein53]

Man substituiert t = z(t) = e^(it) für 0 <= t <= 2π

Damit ist dz = z'(t)dt = i*e^(it)dt

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$\int z\ dz\ =\ \int\ e^{it}\ \cdot\ i\ \cdot\ e^{it}\ dt\ =\ i\ \cdot\int\ e^{2it}dt$

Mit dem Integrationsintervall [0, 2π] ab dem zweiten Integral (Formeleingabe ist hier eine Katastrophe). Das ergibt

$\frac{1}{2\ }e^{2it\ }\left[0,2pi\right]\ =\ \frac{1}{2}\left(e^{4pi}\ -\ e^0\right)\ =\ 0$

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Sei nun z = z konjugiert, mit dem Integrationsintervall [0, 2π] ab dem zweiten Integral:

$\int z\ dz\ =\ \int\ e^{-it}\ \cdot\ i\ \cdot\ e^{it}\ dt\ =\ i\ \int\ 1\ dt\ =\ i\ \cdot\ 2\ pi\$

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Das gilt eben so für:

$\int\ \frac{1}{z\ }dz\ =\ \int\ e^{-it\ }\cdot\ i\ \cdot\ e^{it}\ dt\ =\ i\ \int\ 1\ dt\ =\ i\ \cdot\ 2\ pi$

Mit diesem Ansatz lassen sich die Aufgaben lösen.

Comments

[henriette657]

Dankeschön sehr gut erklärt! Angenommen ich hätte jetzt eine Kreisscheibe mit Radius 3, und berechne das Integral von Wurzel z über den Rand. Das wäre doch dann Integral 0 bis 2pi sqrt(3e^it) * 3ie^ir dr oder?

[Rammstein53]

@henriette657

Die Integrale in meiner Antwort integrieren einen Kreisrand mit Radius 1. Um über die gesamte Kreisfläche zu integrieren, muss ein weiteres Integral das Intervall für den Radius berücksichtigen.