Lineare Algebra – die besten Beiträge

Ich habe hier T=Span{A,A^2,A^3,A^4}

das Sind alles Matrizen die die inverse zueinander bilden

also A^3 ist die inverse von A

A^4 ist die inverse von A^2

ich soll jetzt eine Basis und Dimension bestimmen von diesem Span

aber ich komme irgendwie nicht dahinter wie ?

Ist {[1,0]} ein Erzeugendensystem von R^2?

wie muss ich hier vorgehen ?

Hallo liebe Community,

nehmen wir folgende Beispielaufgabe:

Sei V = (F_3)^4 als F_3-Vektorraum, a = (0, 1, 2, 0)^t Element (F_3)^4 und b = (1, 1, 1, 1)^t Element (F_3)^4.

Bestimmen Sie <a,b>_F3 Teilmenge von (F_3)^4, also die Menge aller Linearkombinationen von a und b.

Ich habe die Aufgabe gemacht und fand sie eigentlich relativ einfach, aber ich habe jetzt mit einem Freund drüber gesprochen und bin mir unsicher ob ich sie richtig gemacht habe.

Die Linearkombination ist ja immer eine Zahl aus der Menge, multipliziert mit einem Vektor aus dem Vektorraum plus eine Zahl aus der Menge, multipliziert mit einem anderen Vektor aus dem Vektorraum.

Um die Aufgabe zu lösen habe ich mir erstmal alle möglichen Kombinationen von Zahl1 und Zahl2 aufgeschrieben.

Dies ist in F_3:

1. 0&0
2. 0&1
3. 0&2
4. 1&0
5. 1&1
6. 1&2
7. 2&0
8. 2&1
9. 2&2

Dann habe ich angefangen die verschiedenen Linearkombinationen auszurechnen also z.B.

1. 0*a+0*b
2. 0*a+1*b
3. 0*a+2*b

usw.

Da es neun verschiedene Kombinationen an Zahlen gibt, hatte ich dann am Ende neun verschiedene linear Kombinationen. Diese habe ich dann als Menge zusammengefasst und diese Menge war sozusagen mein Endergebnis. Also die <a,b>F_3.

Habe ich das so richtig gemacht? Eigentlich hat es beim rechnen schon Sinn ergeben für mich.

Hallo liebe Community,

ich soll beweisen, oder widerlegen, dass folgende Mengen Untervektorräume der K-Vektorräume sind.

Eine Menge U ist ja immer dann ein Untervektorraum wenn folgende vier Fragen mit ja beantwortet werden können:

1. Ist U eine Untermenge von V?
2. Ist der Nullvektor von V auch in U enthalten?
3. Wenn v, w Element U zwei beliebige Vektoren aus U sind, ist dann auch v+w stets wieder in U?
4. Wenn v Element U ein beliebiger Vektor und x Element K eine beliebige Zahl ist, ist dann auch x*v wieder in U?

Hier bei diesem Beispiel habe ich die 4 Fragen beantworten können und bewiesen, dass die Menge U ein Untervektorraum von V ist. Ist dies korrekt? Das Beispiel fand ich noch nicht so schwer.

Ergänzung: Nach ein bisschen Nachdenken ist mir aufgefallen, dass ich besonders beim Beantworten der Frage 3 und 4 mit nicht mehr sicher bin, ob dann beim Ergebnis auch die Einschränkung x+y=z zutrifft.

Ergänzung 2: Nach weiterem Nachdenken ist mir aufgefallen, dass die Einschränkung eigentlich immer erfüllt wird auch wenn ich z.B. zwei Vektoren z.B.: (x, y, z) + (a, b, c) addiere. Da ich sage, dass diese beiden Vektoren Elemente von U sind wird ja damit auch gesagt, dass x+y = z und a + b = c. Und wenn ich die beiden Vektoren addiere, dann komme ich ja auf (x+a,y+b, z+c). Also ist ja die Einschränkung erfüllt oder?

Bei diesem Beispiel habe ich auch bewiesen, dass U ein Untervektorraum von V ist. Ist dies korrekt? Bei diesem Beispiel ist ja der einzige Vektor in U (0,0) oder? Da die Einschränkung hinten ja nur für x = 0 und für y = 0 erfüllt ist, oder?

Bei diesem Beispiel weiß ich leider nicht wie ich da ran gehen soll, da ich leider noch nicht so viel mit den komplexen Zahlen gearbeitet habe. Aber rein intuitiv würde ich behaupten, dass dies kein Untervektorraum von V ist. Aber eine Erklärung hierzu würde mir sehr weiterhelfen.

Bei diesem Beispiel geht es ja um die Paritäten und um die vier Fragen zu beantworten mit der Einschränkung kann ich ja einfach alle möglichen Kombinationen aufschreiben und überprüfen ob ich mit diesen Kombinationen alle vier Fragen beantworten kann, oder?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand ein bisschen was dazu erklären könnte und mir sagen könnte ob meine Gedankengänge zu den jeweiligen Beispielen korrekt sind, oder wenigstens schonmal in die richtige Richtung gehen. Bei dem Beispiel mit den Komplexen Zahlen wäre ich sehr dankbar für eine genauere Erklärung wie ich das dort rechne.

Ich sitze seit einer gefühlten Ewigkeit an der Aufgabe und komme traurigerweise nicht mal auf einen Ansatz.

Kann mir bitte jemand helfen?

Lieben Dank :)

Hallo liebe Community,

ich habe diese Abbildung f: A -> B.

Die Mengen C und D sind Teilmengen von A. Meine Aussage ist folgende:



Diese Aussage soll aber angeblich falsch sein. Und mir wurde gesagt, dass ich das durch ein Gegenbeispiel zeigen kann.

Mein Problem ist aber, dass ich erstens kein wirkliches Gegenbeispiel finden kann und zweitens, denke ich, dass die Aussage wahr ist, aber das ist sie anscheinend nicht.

Ich habe das dann so probiert:

C = {0, 1, 2} und D = {3, 4}

Dann habe ich das eingesetzt in die Abbildung.



Und kam dann aber nicht weiter. Ich glaube halt, dass es was damit zu tun hat, dass wenn man dann das Bild ausrechnet, dass man daraus dann schließen kann, dass es eine falsche Aussage ist.

Aber um ehrlich zu sein, weiß ich auch nicht genau wie man das Bild ausrechnet. Ich weiß, dass beim ausrechnen des Bildes, wieder eine Menge rauskommt und dann würde da ja folgendes stehen:

 Und dann sind diese Mengen wahrscheinlich nicht gleich. Aber ich hake daran wie man das Bild ausrechnet.

Könnte mir evtl. jemand ein Beispiel rechnen oder mir erklären, wie ich durch ein Gegenbeispiel zeigen kann, dass meine Aussage nicht wahr ist. Weil irgendwie dachte ich halt eigentlich, dass meine Aussage oben wahr ist.

Ich verstehe die Notationen nicht ganz. f(phi)=sum_i=1^5 phi(i) was genau bedetuet das? ich nehm an phi ist die Menge 1 - 5. Also die Funnktion f gibt dann im Fall phi = 1, 1*1+2*1+...+5*1? Ist das korrekt?

Sehr dankbar für eure Hilfe

Ich habe Mengen gegeben, welche auf die Untervektoreigenschaften untersucht werden sollen:

Soweit ich weiß waren die Eigenschaften, dass der Nullvektor enthalten sein muss, die Summe zweier Elemente der Menge wieder ein Element der Menge bilden müssen und das ein vielfaches eines Elements ebenfalls wieder in der Menge liegen muss.

Zum ersten habe ich mir Gedacht: Da f injektiv ist, kann man paare bilden wie (0, 0), (1, 1) usw. Damit wären alle 3 Eigenschaften erfüllt aber ich glaube, dass ich das hier einfach falsch interpretiere.

Zu den anderen beiden Aufgaben habe ich nicht viel herausgefunden.

Was ist bei b) das x0 ? Einfach die erste Stelle der Abbildung, also (x0, x1) ?
Und bei c) soll als Bedingung gelten, dass bei f(2) = 0. Wie soll man das interpretieren.

Ich denke, dass ich die Aufgaben bestimmt lösen kann, wenn mir nur jemand erklären kann was genau alles Genannte zu bedeuten hat.

Die Vermutung ist ist für viele Menschen verständlich, also müssten sich damit viele Menschen befasst haben. Warum ist aber diese Vermutung so schwer zu beweisen oder zu widerlegen?

Hallo liebe Community,

ich rechne gerade eine Aufgabe die wie folgt lautet:



Was ist ?

Ansich hatte ich das Gefühl Urbilder ganz gut zu verstehen.

Wenn man f(x)=x^2+1 hat und f^-1(3) bestimmen soll, dann setze ich einfach die 3 für y in meiner Funktion ein und bestimme das entsprechende x dazu.

So bei Funktion f wollte ich nun wie folgt vorgehen:

Ich setze erst 0 für y ein und dann 1 für y. Aber jetzt war ich schon etwas verwirrt, weil es eine Funktion mit 2 Variablen ist x und y. Meine erste Idee war erst jedes y durch 0 zu ersetzen also so: 0 = x*0-0^2

Das hat aber für mich keinen Sinn mehr gegeben, weil das ist dann ja für jeden Wert von x wahr und wie soll ich das als Ergebnis aufschreiben.

Dann habe ich es noch wie folgt ausprobiert: 0 = x*y-y^2

Und kam dabei auf folgende Lösung x=y oder y=0.

Dann habe ich so weitergerechnet: 1=x*y-y^2 und kam auf folgendes Ergebnis: y+1/y

Mein Ergebnis für das Urbild f^-1([0,1]) ist dann folgendes: {y,0,y+1/y}. Ist das so korrekt?

Nun habe ich weitergerechnet mit g. Da soll ich für y das kartesische Produkt von 5 und den Reelen Zahlen einsetzen. So hier war ich eigentlich schon geliefert. Wenn man das kartesische Produkt von 5 x R bildet hat man ja Paare, aber eine unendliche Anzahl von Paaren und ich kann ja schlecht unendlich viele Paare für y einsetzen, da werde ich ja wortwörtlich nie fertig mit.

Dann habe ich mir gedacht okay, y muss das Paar (3x,7) sein. Damit also die Gleichung wahr ist muss man die Relle Zahl 7 nehmen dann hat man für y das Paar (5,7) also gilt (5,7)=(3x,7) und dann muss ich nur noch die Gleichung hier lösen: 5 = 3x also x = 5/3. Und dann ist die Lösung für das Urbild von g^-1(5xR)={5/3}???

Kann mir bitte jemand erklären ob ich das richtig gerechnet habe bzw. gedacht habe oder falls ich halt einen Fehler gemacht habe mir erklären wo mein Fehler liegt.

Das wäre wirklich sehr nett von euch :)

Also die Frage steht ja schon im Titel, ich brauche dringend eine Lösung für eine komplexe Zahl z Element C mit der Eigenschaft z^2=i

Ich hoffe ihr könnt mir da helfen

Hi ihr Lieben,

ich lerne gerade einige Grundlagen zu Vektoren und Matrizen. In dieser Aufgabe soll ich :

Die Vektoren ⃗x1 = (1,1) und ⃗x2 = (1,−1) bilden eine orthogonale Basis des

R2. Das Ergebnis einer Transformation des Punktes (u,v) in diese Basis lautet

(30,−14). Berechnen Sie u und v.

Ich habe mir folgendes überlegt:

1u + 1v = 30

1u-1v=-14

u=8

v=22

Ich habe einfach ein GLS aufgestellt und die jeweiligen Lösung berechnet?

Ist das so richtig?

Beweisen Sie, dass die Vektoren

a = 1 / Wurzel 2 ( 1 1 )

b = 1 / Wurzel 2 ( -1 1 )

eine Orthonormalbasis ist ?

Wir haben bei LA gelernt, dass es außer dem euklidischen, also dem "normalen" Skalarprodukt, noch andere Skalarprodukte gibt. Also dass das euklidische Skalarprodukt nur ein Sonderfall von einem Skalarprodukt ist.

Irgendwie habe ich das nicht so ganz verstanden. Kann mir jemand erklären, wie man ein Skalarprodukt, das kein euklidisches Skalarprodukt ist berechnen würde? Also gibt es einen allgemeinen Rechenweg, wie man Skalarprodukte berechnet, egal ob es das euklidische Skalarprodukt ist oder ein anderes?

Kann mir jemand dafür ein Beispiel von einem Skalarprodukt geben, dass nicht das euklidische Skalarprodukt ist und wie man das dann rechnet? Ist nicht jedes Skalarprodukt ein euklidisches Skalarprodukt?

Vielen Dank schonmal im Vorraus.

Hallo liebe Community,

ich beschäftige mich immer noch mit dem Thema Aussagenlogik und will erneut eine Verständnisfrage stellen. Ich probiere gerade den indirekten Beweis oder auch Beweis durch Widerspruch zu verstehen.

Meinem Verständnis nach funktioniert der Widerspruchsbeweis wie folgt:

Man nimmt eine Aussage S und negiert diese. Der Widerspruchsbeweis funktioniert nur wenn die negierte Aussage S den Wahrheitswert falsch hat. Wenn die negierte Aussage von S den Wahrheitswert falsch hat, dann kann man die negierte Aussage S nocheinmal negieren.



Dadurch, dass die doppelt negierte Aussage von S eindeutig wahr ist, und die doppelte Negation von S wieder S ergibt hat man dadurch bewiesen, dass S wahr ist.

Ansich habe ich das Gefühl, dass ich es teilweise verstanden habe, aber ich habe es noch nicht in der Gänze verstanden.

Ich möchte die ganze Zeit den Beweis durch Widerspruch als logische Formel aufstellen und dann wollte ich probieren diese logische Formel, formal zu beweisen. Mit vielleicht einer Wahrheitswertetabelle.

Das habe ich auch schon irgendwie ein bisschen ausprobiert und hatte folgendes:

Nur irgendwie habe ich diese Wahrheitswertetabelle erstellt ohne mir im klaren zu sein, was ich da so wirklich mache. Ich habe meiner Meinung nach immer noch keine logische Formel für den Beweis durch Widerspruch.

1. Was ist die logische Formel des Beweises durch Widerspruch.
2. Ergibt meine Wahrheitswertetabelle Sinn im Bezug auf den Beweis durch Widerspruch?
3. Wenn meine Wahrheitswertetabelle Sinn ergibt, kann mir jemand kurz zusammenfassen warum diese Wahrheitswertetabelle Sinn ergibt?

Anmerkung zu der letzten Frage: Ich bin halt ein bisschen verwirrt im allgemeinen, da ich nicht weiß wie ich damit umgehen soll falls die Aussage S falsch ist. Weil dann funktioniert ja der Beweis durch Widerspruch eigentlich nicht, weil ich dann die Negation von S nicht zu einem Widerspruch bringen kann, oder?

Ich habe zwei Aufgaben bekommen. Weiß nur nicht wie man sie lösen soll. Bin überfragt und verzweifel langsam da ich es verstehen möchte. Ich würde mich über eine Antwort oder einen Lösungsweg freuen. Euch noch einen wunderschönen Tag ☀️

Ich brauche keine Lösungen, nur Erklärungen, was ich machen muss ^^

Hi,

bin etwas verwirrt von der Levi-civita-notation. Wenn ich zwei epsilon-tensoren multipliziere:

Wie lese ich das dann ohne Informationen über die Indizes zu haben? Woher soll ich wissen, wann zB i und l gleich sind?

Hi, eigentlich bin ich mir sicher, nur ich Frage trotzdem:

Sei M_1 eine 3*3 Matrix, (x,y,z) irgendein Vektor

Sei nun die Determinante M_1 = 0

Sagen wir rank(M_1) = 2 bzw. der Defekt ist 1

Vier Minifragen:

Das heißt jetzt soviel dass der Lösungsraum eine Ebene ist?

Betrachten wir die Sache hier mal als Gleichungssystem, nehmen wir an, rechts stehe irgendein Lösungsvektor. Sobald die Determinante M_1 nun 0 ist, gibt es keine eindeutige Lösung mehr? Denn es gibt keine Inverse Matrix mehr, die ich anwenden kann? Es kann aber auch gut unendlich viele Lösungen geben - sofern der Rang 1 oder 2 vorliegt?

Es kann aber immer noch exakt eine Lösung existieren, nämlich dann, wenn alles auf einen Punkt komprimiert wird, der Rang also 0 ist?

Die Matrix vor dem transponieren, multipliziert mit der transponierten Variante, ergibt die Identitätsmatrix, denn Transformation um 90° nach links wird durch Transformation um 90° nach rechts aufgehoben.

Ist das hier Zufall oder worin liegt die Bedeutung der transponierten Matrix, geometrisch betrachtet?