Partitielle Integration Hilfe?

Hallo, ich brauche dringend Hilfe. Ich muss mithilfe der (mehrmaligen) partiellen Integration beweisen, dass die Funktion

$F_{-\frac{1}{2}}$

mit

$F_{-\frac{1}{2}}\left(x\right)=\ \left(-2x^2-16x-40\right)e^{-\frac{1}{2}x}$

eine Stammfunktion von

$f_{-\frac{1}{2}}\left(x\right)=\left(x+2\right)^2e^{-\frac{1}{2}x}$ ist.

Beim Integrieren komme ich aber die ganze Zeit durcheinander, bekomme seltsame Ergebnisse raus. Daher bitte ich euch, mir Schritt für Schritt zu erklären, wie ich vorzugehen habe.

Wir verwenden die Formel:

$\int u'v\ =\ \left[u\cdot v\right]\ -\ \int uv'$

Answer 1

[Rammstein53]

h(x) = (x+2)² * e^(-1/2*x)

v(x) = e^(-1/2*x)

h(x) = x²*v(x) + 4*x*v(x) + 4*v(x)

Erstmal die einzelnen Integrale lösen:

##

(a) Int v(x) = -2*v(x)

##

(b) Int x*v(x)

f'(x) = v(x), f(x) = -2*v(x) 

g(x) = x, g'(x) = 1

Int f'g = f*g - Int g'*f

(b) Int: x*v(x) = -2*v(x)*x - Int 1*-2*v(x) =

-2*v(x)*x + 2*(a) =

-2*v(x)*x - 4*v(x) = -(2x+4)*v(x)

##

(c) Int: x²*v(x)

f'(x) = v(x), f(x) = -2*v(x) 

g(x) = x², g'(x) = 2x

Int f'g = f*g - Int g'*f

(c) Int x²*v(x) = -2*v(x)*u² - Int 2x*-2*v(x) =

-2*v(x)*x² + 4 * Int x*v(x) =

-2*v(x)*x² + 4*(b) =

-2*v(x)*x² + 4*(-2*v(x)*x -4*v(x))

= (-2x² - 8x - 16)*v(x)

Alles einsetzen:

H(x) = [c] + 4*[b] + 4*[a]

H(x) = [(-2x² - 8x -16)*v(x)] + 4*[-(2x+4)*v(x)] + 4*[-2*v(x)]

H(x) = (-2x² - 16 x - 40) v(x)

Answer 2

[gauss58]

Das ist viel Schreibarbeit, passt aber. Die notwendige Sorgfalt kann Dir keiner abnehmen.

Erste partielle Integration:

u' = e^((-1/2) * x) ; u = -2 * e^((-1/2) * x)

v = (x + 2)² ; v' = 2 * (x + 2)

Zweite partielle Integration:

Vorab 4 aus dem Integral herausziehen und Klammern setzen nicht vergessen.

u' = e^((-1/2) * x) ; u = -2 * e^((-1/2) * x)

v = (x + 2) ; v' = 1

2 aus dem Integral herausziehen. Es bleibt das Integral von e^((-1/2) * x) übrig, welches ja bereits gelöst ist. Faktor vor der Klammer nicht vergessen.

Comments

[wagmaw]

würdest du mir bitte den gesamten Lösungsweg zeigen

[gauss58]

@wagmaw

Erste part. Integration:

= -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2)² - ∫ -2 * e^((-1/2) * x) * 2 * (x + 2) dx

= -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2)² + 4 * ∫ e^((-1/2) * x) * (x + 2) dx

Zweite part. Integration:

= -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2)² + 4 * ( -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2) - ∫-2 * e^((-1/2) * x) dx)

= -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2)² - 8 * e^((-1/2) * x) * (x + 2) + 8 * ∫ e^((-1/2) * x) dx

= -2 * e^((-1/2) * x) * (x + 2)² - 8 * e^((-1/2) * x) * (x + 2) + 8 * (-2) * e^((-1/2) * x) + C

= e^((-1/2) * x) * (-2 * (x + 2)² - 8 * (x + 2) - 16) + C

= e^((-1/2) * x) * (-2 * x² * - 8 * x - 8 - 8 * x - 16 - 16) + C

= e^((-1/2) * x) * (-2 * x² * - 16 * x - 40) + C

[gauss58]

@gauss58

Edit: In den letzten beiden Zeilen ist hinter x² ein * zuviel.

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

leite doch einfach die Stammfunktion ab und prüfe, ob die Ableitung identisch ist mit f(x).

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[wagmaw]

Leider erlaubt das die Aufgabenstellung nicht, wir müssen genau das tun, was in der Aufgabe steht

[rumar]

@wagmaw

Naja, zuallererst würde ich doch dringend raten, zuerst mal das durchzuführen, was Willy gerade vorgeschlagen hat ! Geht dieser Test fehl, dann hätten wir irgendwie ein echtes Problem ...

Auch für die Durchführung der partiellen Integration kriegt man aus dem "Test" wohl nützliche Hinweise.

[wagmaw]

@rumar

Das mit dem Ableiten funktioniert reibungslos. Aber partitielles In. nicht.

[Willy1729]

@wagmaw

Du mußt höllisch bei den Vorzeichen aufpassen. Die sind fast immer die Fehlerursache.

[Willy1729]

@Willy1729

Nach mehrfachen Versuchen (die eine oder andere Konstante verschlampt), habe ich die angegebene Stammfunktion gefunden durch mehrfache partielle Integration.

Du darfst nicht vergessen, daß e^((-1/2)x) bei jeder Integration mit dem Faktor (-2) multipliziert wird. Da kommt einiges zusammen.

[Willy1729]

@Willy1729

Hier:

https://www.youtube.com/watch?v=5cz_twQXyMU

findest Du das sogenannte DI-Verfahren, mit dem die partielle Integration ganz einfach wird (ab Minute 5:35).

Answer 4

[FataMorgana2010]

Was hast du denn für u' und v gesetzt?

Sinnvollerweise nimmst du für u' immer den Term mit der Exponentialfunktion. Dann sollte sich das aufribbeln.

Comments

[wagmaw]

habe ich auch. aber ich kam trotzdem durcheinander

[FataMorgana2010]

@wagmaw

Schreib doch mal auf, was ist u'? Was ist u? Was ist v, was ist v'?

[wagmaw]

@FataMorgana2010

u'=e^{-1/2x} und u= -2e^... und v= (x+2)^2 und v'=2(x+2)

[FataMorgana2010]

@wagmaw

Das ist doch prima und alles richtig. Ich kürze mal ab und nenne den Ausdruck e^{-1/2x} einfach mal E, dann ist das einfacher.

Du hast dann

I = [-2 E * (x+2)^2] - Int (-2E * 2(x+2)) dx

= [-2 E * (x+2)^2] + 2 Int (E * 2(x+2)) dx

Jetzt bleibe ich bei u'=E und u= -2E, aber v ist jetzt v=2(x+2), v' = 2.

= [-2 E * (x+2)^2] + 2 ([-2 *E*2(x+2)] - Int (-2E * 2) dx)

= -2 E (x+2)² - 8 E (x+2) - 8 (Int E dx)

= -2 E (x+2)² - 8 E (x+2) - 8 * (-2E)

= -2 E (x+2)² - 8 E (x+2) - 16 E

= E * ( -2(x² + 4x + 4 ) - 8(x+2) -16))

= E * (-2x² - 8x - 8 - 8x - 16 - 16) = E * (-2x² - 16x - 40)