was wäre wenn die Zahl Pi doch rational wäre?
jeder sagt das die Zahl Pi irrational ist da es keine Muster erkenntbar sind bei milliarden stellen die am computer bestimmt wurden,a ber was wäre wenn jetzt plötzlich doch ein musster nach 1 billion stellen kommt man weiß es doch nicht das selbe mit wurzel aus 2 usw
5 Antworten
Ferdinand von Lindemann hat 1882 gezeigt, dass pi nicht nur irrational, sondern sogar transzendent, d.h. nicht Lösung einer algebraischen Gleichung ist - daher wird nicht nur „gesagt“, pi sei irrational, sondern es ist ein Fakt.
Was mögliche, von Dir beschriebene Muster angeht: mit dem Beweis der Irrationalität von pi kann sich die Folge der Ziffern in der Dezimaldarstellung sowohl von pi als auch von Sqrt(2) niemals wiederholen. Das heisst aber nicht, dass es in den jeweiligen Dezimaldarstellungen keine „Muster“ geben kann. So könnten einige Ziffern von 0 bis 9 häufiger vorkommen als andere, auch wenn das nach heutigem Kenntnisstand unwahrscheinlich erscheint. Die Frage nach der „Normalität“, d.h. Gleichverteilung der Ziffern, ist bisher weder für pi noch für Sqrt(2) geklärt, wie übrigens für kaum eine irrationale Zahl ausser für Zahlen, die speziell für die Forderung nach Normalität konstruiert worden sind (e.g. 0,1234567891011112…, wo die Nachkommastellen alle natürlichen Zahlen durchlaufen)
man weiß es doch nicht das selbe mit wurzel aus 2 usw
Doch, das weiß man. Dass sich Wurzel aus 2 nicht als rationale Zahl darstellen läßt, es also keine m und n € N gibt so dass
ist ein einfacher Beweis, den Schülerinnen und Schüler bereits in der 10. Klasse verstehen können. Weiter lernt man in der siebten oder achten Klasse, dass wenn ein Dezimalbruch eine Periode hat, man ihn in einen Bruch m/n umwandeln kann. Das Verfahren wird zwar nur bei "kurzen" Perioden geübt, aber ob die Periode 1 Billionen Stellen lang ist macht am Verfahren keinen Unterschied. Also enthält Wurzel aus 2 sicher keine Periode.
Der Beweis das pi nicht als ein Bruch m/n mit m, n € N darstellbar ist ist deutlich komplizierter. Er gelang erst Lambert (1761 oder 1767). Der noch kompliziertere Beweis, dass pi auch keine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion ist (und damit auch nicht als Wurzel einer rationalen Zahl darstellbar ist) gelang Lindemann 1882.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl#Irrationalit%C3%A4t_und_Transzendenz
jeder sagt das die Zahl Pi irrational ist da es keine Muster erkenntbar sind bei milliarden stellen die am computer bestimmt wurden
Die oben angeführten Beweise beruhen rein auf algebraischen Eigenschaften der Zahlen Pi und Wurzel(2). Wieviele Stellen bereits bekannt und berechnet sind ist da völlig irrelevant.
Das ist ungefähr genauso wie dir Frage "Was wäre, wenn zwei eine ungerade Zahl wäre".
Pi ist eine irrationale Zahl. Dazu gibt es eine Vielzahl von Beweisen, z.B. von Lambert oder von Hermite. Der von Hermite ist glaube ich auch für Schüler mit entsprechendem Interesse zu verstehen.
Dass Wurzel 2 irrational ist, ist recht einfach zu beweisen: Angenommen, Wurzel zwei wäre rational, d.h. es gäbe natürliche Zahlen m und n mit Wurzel(2) = m/n. Man kann zusätzlich davon ausgehen, dass dieser Bruch maximal gekürzt ist, d.h. dass m und m keine gemeinsamen Teiler haben.
Dann quadriert man auf beiden Seiten und multipliziert mit n^2. Dann erhält man: m^2 = 2*n^2. auf der rechten Seite steht nun eine gerade Zahl, also ist m^2 auch gerade. Wenn m^2 gerade ist, muss m aber gerade sein, d.h. die linke Seite ist sogar durch vier teilbar. damit muss die rechte Seite auch durch vier teilbar sein, also muss auch n^2 eine gerade Zahl sein. Damit sind sowohl m als auch n durch zwei teilbar. Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass m und n teilerfremd sind. Daher ist die Annahme, dass Wurzel(2) rational ist, falsch, also ist Wurzel(2) irrational.
An sowas sieht man, dass man bei Mathematik mit Denken erheblich weiter kommt als mit Ausprobieren oder Ausrechnen.
Den Beweis, dass eine bestimmte mathematisch definierte Zahl (wie beispielsweise die Zahl Pi) nicht rational sein kann, führt man NICHT mittels Durchsuchung der (unendlich langen) Dezimalentwicklung nach eventuellen Wiederholungsmustern mittels Mega-Computern durch (auch jeder noch so tolle Super-Computer könnte das auch gar nicht leisten), sondern durch raffinierte Methoden der höheren Algebra und Analysis. Wenn du wissen möchtest, wie das geht, müsste man dir wohl ein Mathematik-Studium empfehlen. So etwa im vierten oder fünften Semester wird dann wohl ein entsprechender Beweis besprochen (falls du dann noch dabei bist).
Doch, das weiss man (dass da kein wiederholtes Muster kommt), das wurde bewiesen.
Die Irrationalität von e zu beweisen ist Stoff des ersten Semesters Analysis (z.B. Heuser: Lehrbuch der Analysis I, Kapitel 62 Aufgabe 4), der Beweis das Wurzel(2) irrational ist ist sogar Schulstoff. Auch die Beweise für die Irrationalität von pi lassen sich von einem Studierenden nach dem ersten Semester Mathematik problemlos verstehen.