Stochastik (Abituraufgabe)?

Ich habe folgende Matheaufgabe bekommen. Bei Aufgabe e) komme ich nicht weiter. Wie soll ich die Wahrscheinlichkeit herausfinden?

Answer 1

[mihisu]

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(M₂).

Zunächst einmal würde ich mir Gleichungen aufschreiben, die die gegebenen Informationen beschreiben....

Da jeder Sack, der den Qualitätsanforderungen nicht entspricht, mindestens einen der beiden genannten Mängel aufweist, und da 4 % aller Säcke den Qualitätsanforderungen nicht entsprechen (da 96 % der Säcke den Qualitätsanforderungen entsprechen) ist...

$P(M_1\cup M_2)=0\text{,}04$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällig ausgewählte Sack den Mangel M₁ aufweist, beträgt 1 %.

$P(M_1)=0\text{,}01$

Außerdem ist gegeben, dass die beiden genannten Mängel unabhängig voneinander auftreten.

$P(M_1\cap M_2)=P(M_1)\cdot P(M_2)$

============

Nun kann man versuchen, die gegebenen Informationen miteinander in Verbindung zu bringen. Dazu könnte einem die Formel...

$P(M_1\cup M_2)=P(M_1)+P(M_2)-P(M_1\cap M_2)$

... einfallen. Damit erhält man dann mit der stochastischen Unabhängigkeit...

$P(M_1\cup M_2)=P(M_1)+P(M_2)-P(M_1)\cdot P(M_2)$

... mit den sonst gegebenen Informationen dann...

$0\text{,}04=0\text{,}01+P(M_2)-0\text{,}01\cdot P(M_2)$

$\rightarrow\quad 0\text{,}04=0\text{,}01+0\text{,}99\cdot P(M_2)$

$\rightarrow\quad 0\text{,}03=0\text{,}99\cdot P(M_2)$

$\rightarrow\quad P(M_2)=\frac{0\text{,}03}{0\text{,}99}=\frac{1}{33}\approx 0\text{,}0303=3\text{,}03\,\%$

Ergebnis: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 3,03 %.