Nullstellen einer parabel?
Hallo wir haben heute parabeln in der schule angefangen und als hausaufgabe haben wir auf: eine Parabel hat die Nullstellen
x1= -1
x2=-3
gib eine funktionsgleichung an.
kann mir jemand gelfen wie ich das rausbekomme, weil ich könnte da jetzt nur raten und checke nicht was ich da rechnen sollte.
Danke im voraus
6 Antworten
Wenn ihr heute mit dem Thema angefangen habt, könnte es sein, dass meine Antwort dein Wissen überschreibet.
Wenn man die Nullstellen kennt, kann man die Parabelgleichung so angeben:
y = a•(x - Nullstelle1)•(x - Nullstelle2)
Bei den vorgegebenen Nullstellen:
y = a•(x-(-1))•(x-(-3))
a kannst du fast frei wählen (außer 0). a bestimmt, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und welche Stauchung/Streckung sie hat.
Selbstverständlich kann man das ganze auch noch in die Normalform einer Parabel (y = ax²...) umwandeln.
============
Die Funktionsgleichung der Parabel bzw. quadratischen Funktion kann man nicht nur in der Form...
... angeben. Sondern mit den Nullstellen x₁, x₂, kann man die Gleichung auch in Linearfaktoren zerlegt in der Form...
... angeben.
Im konkreten Fall erhält man so...
Dabei ist der Leitkoeffizient a nicht eindeutig bestimmt. Aber darauf weißt dich ja auch die Aufgabenstellung hin, dan nur „eine“ Funktionsgleichung angegeben werden soll, nicht „die“ Funktionsgleichung. Du kannst also für a irgendeinen Wert ungleich 0 verwenden, beispielsweise einfach 1. Damit erhält man dann also beispielsweise...
Wenn man möchte, kann man das dann noch ausmultiplizieren, um auf eine Gleichung der Form y = ax² + bx + c zu kommen. Aber das ist nicht in der Aufgabenstellung verlangt. Das kann man machen, muss man aber nicht.
Du kennst sicher (das habt ihr vorher durch genommen) den Satz vom Nullprodukt: Wenn gilt a*b = 0 so folgt dass a = 0 oder b = 0 oder a und b = 0.
Wenn eine Parabel (also eine Funktion f(x) = a*x² + b*x + c) Nullstellen x1 und x2 hat, so kann man f auch in der sogenannten Produktschreibweise f(x) = a*(x - x1)(x - x2) (*) darstellen. Dieses Produkt wird genau dann gleich 0 wenn x = x1 oder x = x2 gilt. Nun hast du x1 und x2 gegeben und mußt nur noch einsetzen. Das Problem hat unendlich viele Lösungen, z.B. für a = 1, a = 2, ...
Beachte die Vorzeichen der Nullstellen beim Einsetzen, was passiert da in den Klammern?
Es gibt mehrere Möglichkeiten an die Aufgabe heranzugehen:
1.Wenn man etwas geübter ist, kann man direkt sehen, dass die Normalparabel, die immer durch die Punkte (0|0), (1|1), (-1|1) verläuft, z.B. einfach um zwei nach links und um 1 nach unten verschoben wurde. Dann setzt man die Koordinaten des Scheitels, der dann statt (0|0) eben (-2|-1) ist in die Scheitelform und fertig. Da ihr das Thema erst heute angefangen habt, fehlt ziemlich sicher das Auge dafür noch und das ist auch kein Problem :)
2.Wenn ihr die Nullstellenform einer Parabel schon gemacht habt, ist es ebenfalls sehr einfach.
Diese lautet: f(x)=a(x−x1)(x−x2)
Alles was du dann tun musst, ist für x1 und x2 die Nullstellen (mit umgekehrten Vorzeichen) einzusetzen, für a kannst du einen beliebigen Faktor wählen.
Die Funktion wäre dann z.B. f(x)= (x+1)(x+3)
3.Du überlegst dir das Ganze Schritt für Schritt graphisch. Ganz allgemein solltest du dir vorstellen können, wie die Normalparabel f(x) = x² aussieht (es hilft auch, das kurz zu skizzieren), also eine u-förmige, symmetrische Kurve mit Scheitel am Ursprung. Außerdem geht sie durch die Punkte (1|1) und (-1|1).
Dieses "u" kannst du in x und y Richtung verschieben.
Der Scheitel liegt immer mittig zwischen den beiden Nullstellen, also hier bei x =-2 (wegen der Symmetrieeigenschaft). D.h wir wissen bereits, dass die Parabel um 2 nach links verschoben wurde. Verschiebungen in x-Richtung nimmst du direkt "am x" in deiner Funktionsgleichung vor, also f(x) = a(x+2)²
Steht in der Klammer ein + verschiebst du nach links, steht da ein - verschiebst du nach rechts.
a ist der Faktor fürs Strecken/Stauchen, ich setze ihn der Einfachheit halber auf 1. Du kannst aber auch jeden anderen Wert wählen.
Eine Parabel kann man easy in y-Richtung verschieben, indem man ganz hinten einen Wert dazuaddiert (wie bei Geraden der y-Achsenabschnitt). Also g(x)=2x² + 3 wäre um 3 nach oben verschoben oder h(x)=3(x-5)² - 7 um 7 nach unten.
Um die Verschiebung in deinem Beispiel zu berechnen, nimm die Funktionsgleichung und ergänze t: f(x) = (x+2)² + t
Nun setzt du einen Punkt ein, von dem du weißt, dass er auf deiner Funktion liegt, nämlich eine der Nullstellen, im Folgenden die (-1|0): 0 = (-1 + 2)² + t
Nach t auflösen ergibt: t = -1, d.h. die Parabel ist um 1 nach unten verschoben, was uns zu folgender Funktionsgleichung bringt: f(x) = (x+2)² - 1
Die Form f(x) = a(x-s)² + t nennt man auch Scheitelform.
Die Linearfaktordarstellung hilft:
f(x) = a * (x - x₀₁) * (x - x₀₂)
a ist frei wählbar (außer Null) und x₀₁ und x₀₂ sind die Nullstellen.