Nullstellen einer parabel?
Hallo wir haben heute parabeln in der schule angefangen und als hausaufgabe haben wir auf: eine Parabel hat die Nullstellen
x1= -1
x2=-3
gib eine funktionsgleichung an.
kann mir jemand gelfen wie ich das rausbekomme, weil ich könnte da jetzt nur raten und checke nicht was ich da rechnen sollte.
Danke im voraus
6 Antworten
Es gibt mehrere Möglichkeiten an die Aufgabe heranzugehen:
1.Wenn man etwas geübter ist, kann man direkt sehen, dass die Normalparabel, die immer durch die Punkte (0|0), (1|1), (-1|1) verläuft, z.B. einfach um zwei nach links und um 1 nach unten verschoben wurde. Dann setzt man die Koordinaten des Scheitels, der dann statt (0|0) eben (-2|-1) ist in die Scheitelform und fertig. Da ihr das Thema erst heute angefangen habt, fehlt ziemlich sicher das Auge dafür noch und das ist auch kein Problem :)
2.Wenn ihr die Nullstellenform einer Parabel schon gemacht habt, ist es ebenfalls sehr einfach.
Diese lautet: f(x)=a(x−x1)(x−x2)
Alles was du dann tun musst, ist für x1 und x2 die Nullstellen (mit umgekehrten Vorzeichen) einzusetzen, für a kannst du einen beliebigen Faktor wählen.
Die Funktion wäre dann z.B. f(x)= (x+1)(x+3)
3.Du überlegst dir das Ganze Schritt für Schritt graphisch. Ganz allgemein solltest du dir vorstellen können, wie die Normalparabel f(x) = x² aussieht (es hilft auch, das kurz zu skizzieren), also eine u-förmige, symmetrische Kurve mit Scheitel am Ursprung. Außerdem geht sie durch die Punkte (1|1) und (-1|1).
Dieses "u" kannst du in x und y Richtung verschieben.
Der Scheitel liegt immer mittig zwischen den beiden Nullstellen, also hier bei x =-2 (wegen der Symmetrieeigenschaft). D.h wir wissen bereits, dass die Parabel um 2 nach links verschoben wurde. Verschiebungen in x-Richtung nimmst du direkt "am x" in deiner Funktionsgleichung vor, also f(x) = a(x+2)²
Steht in der Klammer ein + verschiebst du nach links, steht da ein - verschiebst du nach rechts.
a ist der Faktor fürs Strecken/Stauchen, ich setze ihn der Einfachheit halber auf 1. Du kannst aber auch jeden anderen Wert wählen.
Eine Parabel kann man easy in y-Richtung verschieben, indem man ganz hinten einen Wert dazuaddiert (wie bei Geraden der y-Achsenabschnitt). Also g(x)=2x² + 3 wäre um 3 nach oben verschoben oder h(x)=3(x-5)² - 7 um 7 nach unten.
Um die Verschiebung in deinem Beispiel zu berechnen, nimm die Funktionsgleichung und ergänze t: f(x) = (x+2)² + t
Nun setzt du einen Punkt ein, von dem du weißt, dass er auf deiner Funktion liegt, nämlich eine der Nullstellen, im Folgenden die (-1|0): 0 = (-1 + 2)² + t
Nach t auflösen ergibt: t = -1, d.h. die Parabel ist um 1 nach unten verschoben, was uns zu folgender Funktionsgleichung bringt: f(x) = (x+2)² - 1
Die Form f(x) = a(x-s)² + t nennt man auch Scheitelform.
Wenn ihr heute mit dem Thema angefangen habt, könnte es sein, dass meine Antwort dein Wissen überschreibet.
Wenn man die Nullstellen kennt, kann man die Parabelgleichung so angeben:
y = a•(x - Nullstelle1)•(x - Nullstelle2)
Bei den vorgegebenen Nullstellen:
y = a•(x-(-1))•(x-(-3))
a kannst du fast frei wählen (außer 0). a bestimmt, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und welche Stauchung/Streckung sie hat.
Selbstverständlich kann man das ganze auch noch in die Normalform einer Parabel (y = ax²...) umwandeln.
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Die Funktionsgleichung der Parabel bzw. quadratischen Funktion kann man nicht nur in der Form...
... angeben. Sondern mit den Nullstellen x₁, x₂, kann man die Gleichung auch in Linearfaktoren zerlegt in der Form...
... angeben.
Im konkreten Fall erhält man so...
Dabei ist der Leitkoeffizient a nicht eindeutig bestimmt. Aber darauf weißt dich ja auch die Aufgabenstellung hin, dan nur „eine“ Funktionsgleichung angegeben werden soll, nicht „die“ Funktionsgleichung. Du kannst also für a irgendeinen Wert ungleich 0 verwenden, beispielsweise einfach 1. Damit erhält man dann also beispielsweise...
Wenn man möchte, kann man das dann noch ausmultiplizieren, um auf eine Gleichung der Form y = ax² + bx + c zu kommen. Aber das ist nicht in der Aufgabenstellung verlangt. Das kann man machen, muss man aber nicht.
Du kennst sicher (das habt ihr vorher durch genommen) den Satz vom Nullprodukt: Wenn gilt a*b = 0 so folgt dass a = 0 oder b = 0 oder a und b = 0.
Wenn eine Parabel (also eine Funktion f(x) = a*x² + b*x + c) Nullstellen x1 und x2 hat, so kann man f auch in der sogenannten Produktschreibweise f(x) = a*(x - x1)(x - x2) (*) darstellen. Dieses Produkt wird genau dann gleich 0 wenn x = x1 oder x = x2 gilt. Nun hast du x1 und x2 gegeben und mußt nur noch einsetzen. Das Problem hat unendlich viele Lösungen, z.B. für a = 1, a = 2, ...
Beachte die Vorzeichen der Nullstellen beim Einsetzen, was passiert da in den Klammern?
Die Linearfaktordarstellung hilft:
f(x) = a * (x - x₀₁) * (x - x₀₂)
a ist frei wählbar (außer Null) und x₀₁ und x₀₂ sind die Nullstellen.