Hey;) Kann mir jemand bei quadratischen Funktionen helfen?
Das mit gestreckt, gestaucht oder normal ist mir klar…
Das mit geöffnet nach oben oder unten auch…
Und auch das mit HP. und TP.
Aber wie genau komme ich auf die anderen Spalten?
Danke schon mal Leute, ich bin euch etwas schuldig.
Bitte so einfach wie möglich mit Beispielen erklären, dann verstehe ich es am gut.
Wir schreiben am Freitag die Arbeit und dafür brauche ich dieses Wissen.
Bitte also schnellstmöglich
Oder gibt es gute YouTube Videos bzw. Webseiten dafür?
TP. = Tiefpunkt
HP. = Hochpunkt
Kann mir jemand vielleicht mal an einer oder zwei Zeile beispielsweise zeigen wie es geht?
Also mit Rechnungen und Erklärungen
Hier
5 Antworten
Und auch das mit HP. und TP.
ist dir auch klar ? Schön , aber sicher nur ob es ein HP oder TP ist , aber nicht die Koordinaten , wo er liegt , oder ? Wenn doch , wie machst du das ?
.
y-achsenabschnitt : easy , immer x = 0 einsetzen
Zeile 1 bei +16
Zeile 6 bei 0
.
Nullstellen ?
Setze mal in Zeile 1 das x = +0.5 bzw -0.5
was ist dann f(+ bzw -0.5) ?
.
Der HP bzw TP liegt immer in der Mitte zwischen den Nullstellen
bei Zeile 1 also bei x = 0
Damit ein HP bei (0/16)
.
Zeile 4
was für x einsetzen , damit -4*x² = -16 ?
.
.
Zeile 3
x = 0 oder x = -3
.
Zeile 6
x ausklammern
x*(-2x + 6)
x = 0 oder x = + 3
1)
a) HP/TP
Dazu muss man die Funktionsgleichung ausmultiplizieren:
f(x) = -2(32x^2 + 16x - 16x - 8) = -2(32x^2 - 8)
f(x) = 64x^2 +16
Ableiten:
f'(x) = 128x
f'(x) = 0 = 128x
x = 0
Das Extremum liegt also bei x = 0 und da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist das ein HP.
f(0) = 16
HP(0/16)
Den y-Achsenabschnitt kann man direkt an der Normalform ablesen:
f(x) = 64x^2 + 16
das ist immer der Wert ohne ein x, hier also +16
Nullstellen:
Da die Nullstellenform gegeben ist, kann man die direkt in den Klammern ablesen:
N1:
8x - 4 = 0
8x = 4
x = 0,5
N2:
4x + 2 = 0
4x = -2
x = -0,5
Das muss auch so sein, weil bei einer Parabel der HP/TP bzw. der Schwitelpunkt immer genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt, sofern vorhanden.
nach unten geöffnet, gestreckt
2) Das ist die Scheitelpunktform und bei einer Parabel ist der Scheitelpunkt immer auch HP oder TP. Nach unten geöffnet, also HP bei x = -2
f(2) = -0,5(-2 + 2)^2 + 18 = 18
HP(-2/18)
Hier ist es am einfachsten für x = 0 einzusetzen:
f(0) = -0,5(0 + 2)^2 + 18 = -0,5 * 4 + 18 = 16
Achsenabschnitt = 16
Nullstellen, muss man ausrechnen:
-0,5(x + 2)^2 + 18 = 0
-0,5(x + 2)^2 = -18
(x + 2)^2 = 36
x + 2 = ± 6
x1 = 6 - 2 = 4
x2 = -6 -2 = -8
Das stimmt, weil der Scheitelpunkt mit x = -2 genau in der Mitte liegt.
nach unten offen, gestaucht
Du verstehst Hoch-/Tiefpunkt (Ableitung=0), aber nicht y-Abschnitt ( y0=f(0) ) oder Nullpunkte ( f(x)=0 auflösen nach x)?
...aber jetzt, oder? ;o)
Der Hoch-und Tiefpunkt ist einfach…einfach schauen ob es ein - oder + vorne ist
Du sollst dich die Koordinaten des hoch oder Tiefpunkts eintragen = wie ermittelst du diese?...
Was du mit +/- beschreibst ist nur ob die Kurve nach oben oder unten geöffnet ist...
Wenn du ein paar Dinge verstanden hast - was hast du in die entsprechenden Felder geschrieben?
-----
y-Achsen-Abschnitt:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei (0 | f(0)).
D. h. für "x" "0" einsetzen und ausrechnen. In der "Normalform" sieht man es auch sofort - in
a x^2 + b x + c
ist c der y-Achsen-Abschnitt.
In der ersten Funktion:
f_1(x) = -2 * (8 x - 4) * (4 x + 2)
f_1(0) = -2 * (8 * 0 - 4) * (4 * 0 + 2) = -2 * (-4) * (2) = 16
-----
Nullstellen:
Das ist in der faktorisierten Form am einfachsten. Z. B. gleich bei der ersten Funktion.
f_1(x) = -2 * (8 x - 4) * (4 x + 2)
Ein Produkt ist null dann und nur dann, wenn wenigstens ein Faktor 0 ist.
-2 kann nicht 0 sein.
8 x - 4 = 0 <=> x = 1/2
4 x + 2 = 0 <=> x = -1/2
d. h. die Nullstellenmenge ist {-1/2, +1/2}.
Ebenso bei der dritten Funktion - hier steht sogar das x einzeln als Faktor. D. h. eine der Nullstellen ist schon mal 0.
Faktorisierte Form generell:
f(x) = a * (x - n1) * (x - n2)
wobei n1 und n2 die Nullstellen sind.
Ansonsten musst du eine quadratische Gleichung lösen.
Bei der zweiten Funktion hast du die Scheitelpunktform.
Scheitelpunktform generell:
f(x) = a * (x - x_S)^2 + y_S
Hierbei ist ( x_S | y_S ) der Scheitelpunkt.
f_3: wieder Produktform (siehe oben).
(f_4 später - hier fallen zwei Formen zusammen.)
f_5: Normalform (ausmultiplizierte Form):
f_5(x) = x^2 - 10 x + 25
Normalform generell:
f(x) = a x^2 + b x + c
f_4: sowohl Scheitelpunktform als auch Normalform.
Normalform: b = 0
Scheitelpunktform: x_S = 0
Die Formen der übrigen Funktionen solltest du jetzt selber bestimmen können.
-----
Koordinaten von Hochpunkt/Tiefpunkt/Scheitelpunkt:
Bei f_1:
f_1(x) = -2 * (8 x - 4) * (4 x + 2)
Die Nullstellen sind -1/2 und +1/2
Der Mittelwert davon ist ((-1/2) + (1/2)) / 2 = 0
Also x_S = 0
y_S = f_1(x_S) = 16
also ist die Lösung ( 0 | 16 )
f_2(x) = -0,5 (x + 2)^2 + 18
Das ist schon die Scheitelpunktform.
Für Anfänger ist oft verwirrend, dass in
f(x) = a (x - x_S)^2 + y_S
vor dem x_S ein "-" und vor dem y_S ein "+" steht. Da müssen wir durch.
Allgemeine Form = Funktionsterm einsetzen
a (x - x_S)^2 + y_S = -0,5 (x + 2)^2 + 18
a = -0,5
x - x_S = x + 2
y_S = 18
Außer für x_S ist das schon aufgelöst. Zweite Gleichung auflösen:
x_S = -2
Also Scheitelpunkt (in diesem Fall Hochpunkt): ( -2 | 18 )
f_5(x) = x^2 - 10 x + 25
Nullstellen z. B. nach pq-Formel
x_1,2 = -p/2 ± √( (p/2)^2 - q)
= -(-10)/2 ±√( ((-10)/2)^2 - 25)
= 5 ± √(25-25)
= 5 ± 0
Es gibt also nur eine einzige Nullstelle, nämlich bei x = 5.
Damit ist der Scheitelpunkt auch die Nullstelle, also ( 5 | 0 )
Y Achsenabschnitt heißt mathematisch f(0). Also den Funktionswert an der Stelle 0 ausrechnen.
Die Nullstellen werden via f(x)=0 berechnet.
Dabei Braucht man häufig faktorisierung, Quadratische Ergänzung oder Polynomdivision
Die Rechnungen kriegst du ja hin. Wichtig ist, das du die Techniken kennst.
Ich weiß nicht wo ich was genau rechnen soll
Wie komme ich von der Funktionsgleichung auf die oben markierten 3 Spalten?
Ich hab's oben geschrieben. Ich glaub man kann keine Bilder in Antworten schicken, sonst könnte ich dir eine vorrechnen
Das wäre sehr nett, es geht bei der Antwort
Ja das weiß ich dass das geht. Aber nicht in den Antworten
Ehm, das solltest du in der Schule gelernt haben. Ansonsten mal online nachschlagen. Auf dem niedrigen Level kenn ich keine guten Bücher
Es fängt ja schon mit den online eingeben an, da wird es kein YouTube Video für sowas geben
Ich denke, der Fragesteller ist ziemlich am Anfang, was quadratische Funktionen betrifft - da sind Ableitungen noch in ferner Zukunft.