Bedeutung von Ableitung, Stammfunktion und Integral?
Welche Bedeutung enthalten diese drei Begriffe und wie lassen sie sich unterscheiden?
Bitte mit einem konkreten Beispiel (aus dem Alltag) und ganz einfachen Formulierungen.
Zum Beispiel:
(x-Achse): Zeit t in Minuten
(y-Achse): Schadstoffausstoß mg/min
Bitte die drei Begriffe anhand eines Beispiels erklären.
3 Antworten
Um in Deinem Beispiel zu bleiben:
Ableitung: Zu- und Abnahme des Schadstoffausstoß (zeitliche Änderung des Schadstoffausstoß)
Integral (bestimmtes Integral): Gesamtmenge in einem bestimmten Zeitintervall ausgestoßene Schadstoffe
Stammfunktion:
Funktion zur Berechnung eines bestimmten Integrals (Ableitung der Stammfunktion F(x) zu f(x) ergibt die Funktion f(x)).
Wie kann ich mir das vorstellen? Also wie kann eine Funktion kleiner als Null sein? Ist der Graph der Ableitungen unterhalb der x-Achse?
Vielen Dank nochmal, jetzt habe ich Dank Ihnen alles verstanden. 😊
(zum Teil schon in einer anderen Antwort)
Die Geschwindigkeit ist die Steigung im Zeit-Weg-Diagramm. Also ist das Zeit-Weg-Diagramm eine Stammfunktion des Zeit-Geschwindigkeits-Diagramms und das Integral darüber ermöglicht, den Zurückgelegten Weg zu berechnen. Die Beschleunigung wiederum ist die Veränderung der Geschwindigkeit und damit die Steigung im Geschwindigkeit-Zeit Diagramms. Das Integral des Beschleunigungs-Zeit diagramms ermöglicht die Berechnung der Geschwindigkeitsveränderung.
Tipp: Bei solchen Betrachtungen helfen die angegebenen Einheiten.
Die Ableitung ist die Steigung einer Funktion in einem Punkt.
Z.B. Bist Du interessiert, was ist die Geschwindigkeit in diesem einen Moment? Das ist dann die Strecke, die Du in dem Moment fährst (vielmehr in einem klitzekleinen Delta) geteilt durch die Zeit (eben dieses klitzekleine Delta).
Am Ende interessiert Dich die Strecke. Die Strecke ist die Summe der Geschwindigkeiten, die Du gefahren bist, mal den Zeiten, in denen Du die Geschwindigkeit gemessen hast. Also ist die Strecke das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit.
Nehmen wir an, die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt lässt sich durch v(t) beschreiben, dann ist die in einem Zeitintervall (t1,t2) gefahrene Strecke das Integral über v(t) von t1 bis t2. Lässt sich dieses Integral als eine Funktion ausdrücken, ist dieses Integral V(t) die Stammfunktion von v(t)
Bei der Ableitung bin ich noch bisschen mit der Zu- und Abnahme verwirrt. Wie sieht man die Zu- oder Abnahme? Anhand der Extrema und Nullstellen, oder wie?