Flächeninhalt und Stammfunktion, Herleitung?
Guten Tag!
Beim rechnen des Flächeninhalts zwischen der x-Achse und des Graphen der Funktion (z.B f(x) ) lässt sich die Integralrechnung wunderbar verwenden. Denn, wir müssen nur die Stammfunktion bilden und gegeben falls dann die Grenzen einsetzen. Die Stammfunktion bilden, dies tun wir aus dem Grund, dass die gegebene Funktion der Ableitung des Flächeninhaltes gleich ist:
f(x) = A'(x)
Um also A(x) zu bekommen, müssen wir einfach das Gegenteil der Ableitung machen, also die Stammfunktion bilden. Meine Frage ist nun: Weshalb gilt dieser Ausdruck überhaupt, sprich, was ist die Herleitung ( für jede Funktion ), dass die Ableitung des Flächeninhalts A'(x) gleich der Funktion f(x) ist?:
f(x) = A'(x)
1 Antwort
Das kann man sich so herleiten.
Sei irgendeine stetige Funktion f gegeben und das (geschlossene) Intervall [a, b] mit a<b sei in ihrem Definitionsbereich.
Wir wissen, dass das Integral über f(x) mit unterer Grenze a und oberer Grenze b, kurz
integral(a, b) f(x) dx,
den orientieren Flächeninhalt zwischen x-Achse und Graph darstellt.
Da die Funktion stetig ist, nimmt sie auf [a, b] sowohl ihr (globales) Minimum m als ihr auch (globales) Maximum M an.
Für den Flächeninhalt gilt dann die Ungleichungskette
m•(b–a) ≤ integral(a, b) f(x) dx ≤ M•(b–a).
Jetzt können wir diese Ungleichungskette mit (b–a) dividieren und erhalten
m ≤ (integral(a, b) f(x) dx) / (b–a) ≤ M.
Da der Ausdruck zwischen m und M liegt, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein ŷ aus [a, b] mit
f(ŷ) = (integral(a, b) f(x) dx) / (b–a).
Falls dir der Zwischenwertsatz nichts sagt, hier eine kurze, intuitive Erklärung: Eine stetige Funktion nimmt zwischen zwei Funktionswerten auch jeden anderen an. Es gibt also mindestens ein ŷ aus [a, b], für dass f(a) ≤ f(ŷ) ≤ f(b) (falls f(a) ≤ f(b), sonst umgekehrt). Oben sind m und M Funktionswerte (nämlich Extrema) von f, also gibt es ein ŷ, sodass f(ŷ) gleich dem Quotienten oben ist.
Dieses Ergebnis machen wir uns gleich zunutze.
Definieren wir nun die Funktion A mit
A(x) = integral(a, x) f(x) dx
und x aus [a, b].
Dann ist der Differenzenquotient
(A(x+h) – A(x)) / h
= (integral(a, x+h) f(x) dx – integral(a, x) f(x) dx) / h
= integral(x, x+h) f(x) dx / h
= integral(x, x+h) f(x) dx / (x+h – x).
Mit dem Ergebnis oben wissen wir jetzt, dass es ein ŷ aus [x, x+h] gibt, sodass
f(ŷ) = integral(x, x+h) f(x) dx / (x+h – x)
Und das ist ja nichts anderes als
f(ŷ) = (A(x+h) – A(x)) / h.
Lassen wir nun h gegen Null gehen, bilden also den Differenzialquotienten von A und damit A', erhalten wir
f(x) = A'(x).
Bedenke, dass ŷ aus [x, x+h] ist, also wenn h gegen Null geht, ŷ = x gilt.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen :)
Vielen Dank für deine so ausführliche und nachvollziehbar Erklärung!