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Zusammenhang Skalarprodukt und Winkel?

Hallo liebe Matheexperten,

ich beschäftige mich derzeit mit der Herleitung der Winkelbestimmung für zwei Vektoren. Dabei haben wir diese Herleitung bekommen:

Jetzt frage ich mich, warum die Umformung der beiden blauen Gleichungen so gilt. Warum ist also das Skalarprodukt von zwei Vektoren gleich mit dem Produkt der Beträge der Vektoren, wenn diese parallel und gleich gerichtet sind?

Leider haben wir auch keine wirkliche Defintion für das Skalarprodukt bekommen und es stattdessen vielmehr als „Mittel zum Zweck“ für die Bestimmung einer möglichen Orthogonalität gesehen.

Dieses Video bezeichnet das Skalaprodukt als „Produkt eines projezierten Vektors B auf einen Vektor V mit dem Vektor V“ (https://youtu.be/LyGKycYT2v0?si=pdMU_K0nO6LqqqfE, 1:43 min)

Würde das dann im Umkehrschluss bedeuten, dass sich der Betrag der Projektion des Vektors B auf den Vektor V dem tatsächlichen Betrag des Vektors B annähert, wenn der Winkel zwischen dem Vektor B und dem Vektor V gegen null läuft?

Wäre das dann auch die Erklärung dafür, dass die Vektoren B und V parallel und richtungsgleich sein müssen, damit die blau unterstrichene Gleichung so gilt?

Ich habe versucht, diese „Regel“ selbst mit Beispielen zu beweisen, bin aber leider erfolglos…

LG

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Plötzlich extrovertiert?

Wieso bin ich plötzlich extrovertierter, seitdem ich meine Sozialangst grösstenteils überwunden habe?

Irgendwie mag ich es jetzt in Menschenmengen zu sein, und ich hab nicht mehr so grosse Probleme ständig von Menschen umgeben zu sein.

Es scheint seitdem ich meine Ängste durch eine Schocktherapie überwunden habe, will ich mehr und mehr soziale Interaktion. Zuerst dachte ich nämlich, dass völlig unsozial bin.

Aber es scheint, so als war ich schon immer Extrovertiert? Denn ich weiss noch als junger teenager, hatte ich sehr viele freunde, und auch ein partner, und war generell sehr beliebt.

Dann, später kippte es wegen stress zuhause.

Dann zog ich mich immer mehr zurück, bis ich mich fast nur noch isolierte.

Dabei vermisste ich soziale Interaktion so sehr, aber ich traute mich nichtmal mehr raus zu gehen.

Es vergingen viele Jahre, bis ich überhaupt wieder leichte soziale Interaktionen machen konnte.

Je mehr Stresssituation ich mich aussetzte, desto höher wurde mein Stresspotential nach und nach.

Ein total introvertierter, würde ja immer introvertiert bleiben oder?

Er würde nicht nachdem die sozialangst überwunden wurde, durch soziale Interaktion Energie aufbauen, oder? Sondern das alles würde ihm nach und die Energie entziehen oder?

Also bin ich extrovertiert, aber hate Sozialangst, oder?

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