Wie kann man das beweisen?

Wie kann man beweisen, dass zwei negative Zahlen miteinander multipliziert werden eine Positive ergeben?

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Das kann man aus den Anordnungsaxiomen folgern.

Ein Anordnungsaxiom bestagt, dass wenn x < y und a > 0, dann ax < ay.

Wenn in dem Fall a < 0 ist, nehmen wir einfach -a: Aus x < y und a < 0 folgt -ax < -ay und somit ax > ay. Für y kann man nun auch 0 einsetzen: Dann steht da: Falls x < 0 und a < 0, dann ax > 0, denn ay = 0.

Man kommt von -ax < -ay auf ax > ay, indem man auf beiden Seiten ax + ay addiert und dann steht da ay < ax, was das gleiche wie ax > ay ist.

(Vgl. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Folgerungen_der_Anordnungsaxiome)

Answer 2

[mihisu]

Nach Definition ist -x die Gegenzahl zu x. D.h. -x ist das (eindeutige) Inverse zu x bzgl. der Addition.

$\left(-x\right)+x=0\quad\text{bzw.}\quad x+\left(-x\right)=0$

Wegen...

$x\cdot \left(-y\right)+\left(-x\right)\cdot \left(-y\right)=\left(x+\left(-x\right)\right)\cdot \left(-y\right)=0\cdot \left(-y\right)=0$

... ist dann dementsprechend...

$\left(-x\right)\cdot \left(-y\right)=-\left(x\cdot \left(-y\right)\right)$

Wegen...

$x\cdot y+x\cdot \left(-y\right)=x\cdot \left(y+\left(-y\right)\right)=x\cdot 0=0$

... ist...

$x\cdot y=-\left(x\cdot \left(-y\right)\right)$

Damit erhält man dann schließlich...

$\left(-x\right)\cdot \left(-y\right)=-\left(x\cdot \left(-y\right)\right)=x\cdot y$

Daraus folgt dann also insbesondere: Wenn man zwei negative Zahlen miteinander multipliziert, ist das gleich einem entsprechenden Produkt von zwei positiven Zahlen. [Und das Produkt zweier positiver Zahlen ist positiv.]

Answer 3

[bergquelle72]

Lass es mich mal so versuchen:

Seien a,b aus IR und a,b >0. Wir kennen das Ergenis von (-a)*(-b) nicht, also schreiben wir es mal als x aus IR.

(-a)*(-b)= x | wir addieren (-a)*b)

(-a)*(-b) + (-a)*b = x+ (-a)*b wir wenden links das Distributivgesetz an

(-a)*((-b) + b)) = x+ (-a)*b

Wir wissen, dass für alle Elementer aus IR gilt: r-r=0, also ist (-b) + b = b-b = 0

damit erhalten wir: (-a) * 0 = x+ (-a)*b.

Wir wissen, dass für alle Elementer aus IR gilt: 0*r=0, also ist (-a)*0 = 0

damit erhalten wir: 0 = x+ (-a)*b Wir addieren auf beiden Seiten a*b.

0+ a*b = x+ (-a)*b +a*b

(-a) * b schreiben wir als -a*b, also

a*b = x - a*b +a*b Wie oben ist -a*b +a*b = a*b - a*b =0

Also bleibt: a*b = x

Oben stand aber (-a)*(-b)= x

Daraus folgt : (-a)*(-b)= a*b was zu beweisen war.

Answer 4

[mat22]

Weil

$-x\cdot-y=-1\cdot x\cdot-1\cdot y=\left(-1\right)^2\cdot x\cdot y=x\cdot y\ \le0$

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Mit Mathematik muss man immer rechnen

Comments

[alehrem]

Aber da nimmt man ja auch an das -1 * -1 = 1

Das ist ja genau der Teil den ich beweisen will

[bergquelle72]

@alehrem

Da hast du vollkomen recht. Schau dir mal meinen Beweis an. Kommst du damit zurecht?

Answer 5

[HeniH]

Hi,

LG,

Heni

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Habe Mathematik studiert.