Beweis zum ggT?
Zu Beweisen für beliebige natürliche Zahlen a,b:
ggT( a/ggT(a,b), b/ggT(a,b))= 1
2 Antworten
Angenommen, es gäbe kein c ungleich 1, welches sowohl a als auch b teilt, dann ist der Satz unmittelbar ersichtlich, da dann ggT(a,b) = 1.
Seien im nachfolgenden die Variablen Elemente natürlicher Zahlen größer 0.
Sei c also der größte gemeinsame Teiler von a und b ungleich 1.
Marker 1:
Sei a = cd und b = ce. Wir untersuchen also, mit ggT(a,b) = c,
ggT(a/c, b/c) = ggT(cd/c, ce/c) = ggT(d,e).
Angenommen, ggT(d,e) sei ungleich 1. Dann müsste es ein f ungleich 1 geben mit d = fg, e = fh. Dann wäre aber a = cd = cfg und b = ce = cfe. Dann wäre der größte gemeinsame Teile nicht c, sondern cf --> Widerspruch. Also muss ggT(d,e) = 1. Da ggT(d,e) = ggT( a/ggT(a,b), b/ggT(a,b)), folgt daraus die Behauptung.
Im Prinzip hätte an die Fallunterscheidung am Anfang sein lassen können, also mit a = cd und b = ce anfangen können, egal ob c = 1 oder c ungleich 1. Man hätte direkt bei Marker1 anfangen können.
Ansatz:
Zeige zuerst, dass a/ggT(a,b) und b/ggT(a,b) natürliche Zahlen sind (woraus folgt, dass dein Ausdruck definiert ist)
Nimm nun an dass
ggT( a/ggT(a,b), b/ggT(a,b))= c gilt.
Folgere, dass ggT(a,b)*c ein Teiler von a und von b sein muss.
Folgere daraus, dass c = 1 gelten muss.