Wieso keine Lösung?
Wieso ist 11 keine Lösung? Also man merkt es mit ausprobieren aber was ist der Grund?
5 Antworten
Durch das Quadrieren (keine Äquivalenzumformung) können Scheinlösungen entstehen. Daher müssen die Ergebnisse der Rechnung überprüft werden.
Schau dir mal die vierte Gleichung von unten an: Die hast du richtig gelöst (2 Lösungen, -1 und 11). Das ist allerdings im wesentlichen eine "stinknormale" quadratische Gleichung.
Nun sieh dir aber mal die 5. Gleichung von unten an: Da ist doch klar, dass dafür die 11 keine Lösung sein kann, denn links steht nach Einsetzen von 11 etwas Negatives, rechts etwas Positives. Dagegen ist -1 eine Lösung.
Wie ist das passiert? Beim Übergang von der 5t-letzten zur 4t-letzten Gleichung hast du beide Seiten quadriert. Dabei kann es aber sehr wohl passieren, dass die Gleichung nach dem Quadrieren eine Lösung mehr hat als die Gleichung vor dem Quadrieren. Die Simpelgleichung x=3 beschreibt ja schon ihre einzige Lösung (3). Wenn du aber auf die Idee kommst, erst mal beide Seiten zu quadrieren, so erhältst du: x²=9. Und diese Gleichung hat eben nicht nur die Lösung 3, sondern auch die Lösung -3.
Deswegen bleibt die Lösungsmenge nach Quadrieren nicht unbedingt dieselbe. Du formst mit dem Quadrieren nicht einfach die bestehende Gleichung um, sondern machst aus dieser eine Gleichung mit eventuell größerer Lösungsmenge! Daher musst du die Lösungen, die du am Ende aus nach deinen Schritten erhalten hast, stets in die allererste Gleichung einsetzen, um zu verifizieren, dass sie diese tatsächlich auch lösen - und nicht zu denen gehören, die unerwünscht durch die Quadrierschritte hinzugekommen sind. (Du quadrierst ja bei deiner Herleitung sogar mehrfach!)
Ein Beispiel zum Thema Quadrieren und "Scheinlösungen":
Die Gleichung hat sicher nur die Lösung x = 6
Jetzt quadriere die Gleichung und zieh' wieder die Wurzel:
und schon ist eine Scheinlösung x = - 4 erzeugt.
Beim Quadrieren können Lösungen hinzukommen. Setze x=11 in die Gleichung vor dem letzten Quadrieren ein, dann siehst Du es:
−x+1 = 2√(2x+3): −10 = 2√25
−10=10 ist falsch, aber nach dem Quadrieren steht da plötzlich 100=100.
Setze einfach den Wert 11 für das x in der Ausgangsgleichung ein und rechne nach. Beachte dabei, dass die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl stets auch positiv ist !
So etwas wie Wurzel(16) = -4 ist daher Quatsch.