Wie bestimme ich die Lagebeziehung zweier Geraden und ggf den Schnittpunkt?
Also, wenn man z.B. die Vektoren g1 : x = (2|2|-3) + r * (2|1|-1) und g2 : x = (3|0|-1)+ r * (1|-2|2) gegeben hat? Wie finde ich heraus, ob sie identisch, parallel oder windschief sind? Und wie würde ich ihren Schnittpunkt bestimmen, falls sie einen haben?
2 Antworten
Zuerst siehst Du Dir an, ob die beiden Richtungsvektoen parallel sind (also Vielfache voneinander); das siehst man leicht mit freiem Auge.
- Wenn das der Fall ist, dann setzt Du den Punkt der einen Gerade in die andere ein und siehst, ob Du eine Lösung für den Parameter herausbekommst (3 Gleichungen, eine Variable). Wenn ja, dann sind die beiden Geraden identisch, sie fallen also zusammen; wenn nein, dann sind sie disjunkt parallel.
- Wenn nicht, dann mußt Du zwischen schneidend und windschief unterscheiden. Dazu setzt Du die beiden Geraden gleich und löst nach den beiden Parametern (2 Variablen, drei Gleichungen); wenn es eine eindeutige Lösung gibt, dann setzt Du einen Parameter in seine Gerade ein und bekommst den Schnittpunkt; wenn nein, dann sind die beiden windschief.
In Deinem Fall sind die beiden Vektoren offensichtlich nicht parallel, also bleibt Dir Punkt 2.
Wenn die Richtungsvektoren vielfache sind, sind die Vektoren parallel. Wenn sie dazu auch noch einen gemeinsamen Punkt haben sind sie identisch. Einen Schnittpunkt berechnest du durch gleichsetzen der Geraden. Gibt es keinen Schnittpunkt und sind die Richtingsvektoren keine Vielfachen sind die Vektoren windschief.