Gegeben ist der Vektor u=(..). Gib zwei nicht kollineare Vektoren an, die beide orthogonal zum Vektor u liegen. Wie bestimme ich sie denn?
Nicht kollineare (parallele) Vektoren: wenn die Richtungsvektoren nicht das Vielfache voneinander sind
orthogonale Vektoren: Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist
Die Begriffe sind mir bekannt, weiß allerdings nicht wie ich das ausrechnen soll. Unten ist eine Rechnung, aber ich verstehe nicht wie man auf die Zahlen kommt… Ich weiß es gibt verschiedene Lösungen ;( . Ich würde mich über eine Hilfe freuen.
3 Antworten
Also Nehmen wir an wir haben einen Vektor u=(1,2,3)
Dann weißt du ja das ein Orthogonaler Vektor zu u mit ihm. zusammen ein Skalarprodukt von 0 haben muss. Weißt du wie man ein Skalarprodukt bildet?
Du nimmst immer die beiden gleichen Komponenten und nimmst sie mal. Also nehmen wir uns mal einen zweiten Vektor v=(2,4,-2)
Dann rechnen wir u*v=1*2+2*4+3*(-2)=4
Also nimmt man immer die Oberen Zahlen dann die darunter und dann die ganz unten und rechnet alle plus.
Wie du siehst ist das Ergebnis nicht 0. Aber das ist ja unser Ziel.
Also musst du dir einen Vektor überlegen , wo bei der Rechnung 0 herauskommt.
Dazu schreibst du dir am besten auf u*v=1* +2* +3* =0
dann überlegst du dir mit welchen zahlen du das ausfüllen kannst sodass da 0 rauskommt. Besonders leicht ist das wenn du z.b einmal null benutzt.
u*v=1*0 +2* +3* =0 So das ist doch eigentlich machbar. Wir nehmen dann mal den Vektor v=(0,3,-2). Dann steht da nämlich u*v=1* 0+2*3 +3*(-2) =0
Und das ist richtig!!
bei deiner Aufgabe ist das sehr ähnlich. Da hat man bei der dritten Komponente 0 genommen.
Also du willst, das das Skalarprodukt zwischen v und u, sowie w und u gleich 0 sind.
Du erhälst dadurch die Gleichung:
4a+2b+c = 0, wenn der gesuchte Vektor die Form (a,b,c) hat.
Du kannst nun Lösungen Recht einfach generieren:
Wähle zwei der Variablen, und setzte für die beliebige zahlen ein.
Bestimme dann die dritte Variable so, sodass das Skalarprodukt dann 0 ist. (Für den allgemeinen Fall: der Faktor vor der Variablen, die nicht gewählt wurde, darf nicht 0 sein)
Für den 2. Vektor wählst du dann wieder die selben beiden Variablen, und setzt dann wieder beliebige Werte ein, diesmal aber so, sodass das Wertepaar kein Vielfaches von dem anderen Wertepaar ist, damit garantierst du dann, dass der zweite Vektor nicht linear abhängig ist.
Beispiel:
Wir wählen die Variablen a und b, und setzten dann a=1 und b=3 fest.
Somit ist das Skalarprodukt:
4a+2b+c = 4*1+2*3+c = 10 + c
c muss somit gleich -10 sein, du erhälst somit den Vektor (1, 3, -10)
Für den 2. Vektor setzt du dann a=2 und b=2, was okay ist, da der Vektor (2, 2) kein bielfaches von (1, 3) ist.
Somit ist das Skalarprodukt:
4*2+2*2+c = 12
c ist somit -12
Du erhälst somit als zweiten Vektor: (2, 2, -12)
Um es einfacher zu machen, kannst du auch eine der beiden Variablen gleich 0 setzen (wichtig ist aber, dass mindestens einer der drei Variablen am Ende nicht 0 ist)
Sieht nach "geschicktem Raten" aus. Oder nach einer Nebenrechnung auf einem gesonderten Blatt.
(Hier fehlt noch der Nachweis, dass v und w nicht kollinear sind.)
Man kann irgendwelche 2 beliebigen Vektoren nehmen, die weder zu u noch untereinander kollinear sind, und dann z. B. https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren anwenden. (Dabei kann man sich die Divisionen sparen, da ja nur nach Orthogonalität, nicht aber nach Normalisierung gefragt ist.)
Oder man nimmt irgendeinen Vektor v, der nicht kollinear zu u ist, und wendet ein Orthogonalisierungsverfahren an. Den Vektor w kann man im Dreidimensionalen mit dem "Vektorprodukt" bestimmen.
Schönheitsfehler dieser beiden Verfahren: v und w sind dann nicht nur linear unabhängig, sondern sogar orthogonal, was eine überflüssige "Optimierung" darstellt.