Kollineare Vektoren?

Hey,

gegeben:

Lösung:

g und h sind nicht parallel, da ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind, was man durch einfaches Hinsehen erkennen kann.

Frage:

Wie kann man dies durch einfaches hinsehen erkennen und wie berechne ich dies wenn man es nicht durchs hinsehen erkennen kann?

Danke

Answer 1

[mihisu]

Wenn die beiden Vektoren kollinear wären, gäbe es einen der beiden Vektoren, der das Vielfache des anderen Vektors wäre.

Betrachtet man die ersten beiden Einträge der beiden Richtungsvektoren, so könnte man feststellen, dass dann der zweite Richtungsvektor das 2-fache des ersten Richtungsvektors sein müsste. Jedoch passen die dritten Einträge nicht dazu, das das 2-fache von -2 nicht -3 ist (sondern -4).

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Im Prinzip geht das auch sonst rechnerisch genauso, wenn du das nicht sofort sieht. Man setzt eine entsprechende Gleichung an, ob der eine Vektor das Vielfache des anderen Vektors ist...

$k\cdot\left(1,\ 1,\ -2\right)^{\text{T}}=\left(2,\ 2,\ -3\right)^{\text{T}}$

$\left(k\cdot1,\ k\cdot1,\ k\cdot\left(-2\right)\right)^{\text{T}}=\left(2,\ 2,\ -3\right)^{\text{T}}$

$k\cdot1=2\ \text{ und }\ k\cdot1=2\ \text{ und }k\cdot\left(-2\right)=-3$

Mit Hilfe einer Gleichung, kannst du dann den Faktor k berechnen. Diesen setzt du dann in die anderen Gleichungen ein, und schaust, ob der auch für die anderen Gleichungen passt. Im konkreten Fall erhält man aus der ersten Gleichung k = 2/1, also k = 2. Die zweite Gleichung ist identisch mit der ersten Gleichung, also offensichtlich auch für k = 2 erfüllt. Bei der dritten Gleichung erhält man für k = 2 auf der linken Seite -4, was jedoch nicht mit -3 auf der rechten Seite übereinstimmt. Dementsprechend gibt es keinen entsprechenden Faktor k, der alle Gleichungen erfüllt, weshalb die beiden Vektoren nicht kollinear sind.

Comments

[xTomyx]

Man muss sich also nur (1/1/-2) und (2/2/-3) anschauen und gucken ob sie ein vielfaches voneinander sind? (2/0/0) und (1/0/0) sind nicht relevant?

[mihisu]

@xTomyx

Richtig. Die Aufpunkte/Stützpunkte sind für die Beurteilung, ob die Geraden parallel sind (also ob die Richtungsvektoren kollinear sind), irrelevant.

Die geben schließlich nur an, wie die Gerade im Bezug zueinander (bzw. zum Ursprung) verschoben sind, aber nicht, in welche Richtung diese Geraden verlaufen. Und eine Verschiebung ist für die Beurteilung der Parallelität egal.

[xTomyx]

@xTomyx

Achso, vielen Dank!

Answer 2

[Ellejolka]

dann

1 = u • 2

1 = u • 2

-2 = u • (-3)

jetzt beim allen dreien das u berechnen und gucken, ob immer das gleiche u rauskommt.

u = 1/2

u = 1/2

u = 2/3

Answer 3

[Quotenbanane]

Wären die Richtungsvektoren parallel, müsste es einen gemeinsamen Faktor d geben, der multipliziert mit dem Vektor genau den anderen Vektor ergibt. Also v_1 * d = v_2

Hier ist es unmöglich, da 1*2 = 2 ist, der Faktor d=2 sein muss, aber -2*2 = -4 =/= -3 ist.

Berechnen kannst du es, indem du für eine Koordinate diesen Faktor d bestimmst und dann schaust, ob er auch für die anderen Koordinaten passt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium