Wie erkennt man den Scheitelpunkt?
Wenn man den Funktionsterm einer Parabel bestimmen möchten, muss man ja mithilfe der gegebenen Koordinaten ein Gleichungssystem erstellen.
Ausnahme:
1. Der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt sind gegeben => Lösung mit der Scheitelpunktform
Oder
2. Die Nullenstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) und ein weiterer Punkt sind gegeben => Lösung mit der Nullstellenform
Die Frage:
Die Nullstellen erkennt man leicht an dem P(x|0). Doch wie erkennt man den Scheitel? Wenn ich z. B. die Punkte A(2|2), B(3|0) und C(4|2) nehme. Woher weiß ich, welcher Punkt der Scheitelpunkt ist?
3 Antworten
Der Scheitel ist dort, wo die Steigung der quadratischen Funktion 0 ist. Und das ist immer genau zwischen den Nullstellen. Dort ist auch die 1. Ableitung f'(x) = 0 (dies ist Nullstelle der linearen, abgeleiteten Funktion).
Wenn du die beiden Punkte A(2,2) und B(4,2) hast (gleicher y-Wert), und du weißt, dass die Parabel per Definition symmetrisch ist, liegt der Scheitelpunkt genau dazwischen.
Der Scheitelpunkt einer Parabel ist immer ein globales Extremum der Funktion, sein y-Wert wird genau einmal angenommen; daher können die Punkte A und C nicht Scheitelpunkt sein…
"Wenn ich z. B. die Punkte A(2|2), B(3|0) und C(4|2) nehme. Woher weiß ich, welcher Punkt der Scheitelpunkt ist?"
Dieses Beispiel ist doch vielleicht gar zu einfach. Sofort sieht man die einfache Symmetrie bezüglich der Geraden x=3 , und dass deshalb auch B der Scheitelpunkt der Parabel sein muss.
Versuche es aber doch zum Beispiel mal mit den Parabelpunkten A(0|8), B(2|0), C(5|5) .
Die Gleichung der gesuchten Kurve (Parabel im x-y-Koordinatensystem mit Symmetrieachse parallel zur y-Achse) lautet y = a x^2 + b x + c .
Durch Einsetzen der Koordinatenpaare (x|y} der drei gegebenen Punkte erhält man ein Gleichungssystem für die drei gesuchten Parameter a, b und c .
Wie kann ich es da herausfinden?