Wie bestimmen ich den Scheitelpunkt aus zwei Punkten.?

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3 Antworten

Setze die Koordinaten der Punkte in die Gleichung ein. Du erhältst mit Punkt 1:

2,5 = ( - 1 ) ² + p * ( - 1 ) + q

<=> 2,5 = 1 - p + q

<=> 1,5 + p = q

und mit Punkt 2:

7,5 = ( - 6 ) ² + p * ( - 6 ) + q

<=> 7,5 = 36 - 6 p + q

<=> 6 p - 28,5 = q

Die beiden fett markierten Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem, welches zu lösen ist. Das ist hier recht einfach, weil beide Gleichungen "zufälligerweise" bereits nach q aufgelöst sind. Also Gleichsetzungsverfahren:

1,5 + p = 6 p - 28,5

<=> 5 p = 30

<=> p = 6

und daraus folgt wegen q = p+ 1,5 (siehe oben):

q = 7,5

Diese Werte für p und q setzt man nun in die angegebene Gleichung

y = x ² + p x + q

ein und erhält so die Gleichung der Parabel, auf der die beiden Punkte liegen:

y = x ² + 6 x + 7,5

Um die Koordinaten des Scheitelpunktes zu bestimmen, formt man den Funktionsterm in die Scheitelpunktform um:

x ² + 6 x + 7,5

= x ² + 6 x + 9 - 9 + 7,5

= ( x + 3 ) ³ - 1,5

= ( x - ( - 3 ) ) ² - 1,5

Die Koordinaten des Scheitelpunktes S sind daher: S ( - 3 | - 1,5 )

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Du setzt die Punkte jeweils in die Gleichung ein. Somit erhälst du zwei Gleichungen:

Punkt 1 eingesetzt: 2,5 = 1 - p + q

Punkt 2 eingesetzt: 7,5 = 36 - 6p + q

Dieses Gleichungssystem musst du nur noch lösen und p & q in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

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