Varianz beweisen?
Ich soll das hier zeigen : 1/n * Σ(x_i - x̄)^2= 1/n Σx_i^2 -x̄^2
ich hab das binom aufgelöst, dann mit den Summen aus multipliziert, bis ich hier bei gelandet bin:
=1/n (Σx_i^2 -2Σx̄x_i+Σx̄^2)
=1/n (Σx_i^2 -2 x̄ Σx_i+Σx̄^2)
=1/n (Σx_i^2 -2 x̄^2+Σx̄^2) / Weil 1/n mal Σx_i= Mittelwert= x̄
so komme ich nicht mehr weiter. Irgendwie muss ich doch die -2 x̄^2+Σx̄ miteinander verrechnen, damit ich schlussendlich auf 1/n * Σ(x_i - x̄)^2 komme
3 Antworten
Ungeachtet davon, wie die Äquivalenzumformung weitergeht, handelt es sich bei der Formel nicht um den Quartilsabstand, sondern um die Varianz.
Diese basiert auf Abständen zum Mittelwert und is quasi die durchschnittliche quadrierte Abweichung vom Mittelwert.
(x - x quer) ist die Abweichung. Diese Wert für jeden Wert berechnet, quadriert, aufsummiert und durch die Anzahl geteilt. Die letzen beiden Schritte (aufsummieren und durch die Anzahl teilen) ist die klassiche Mittelwertsberechnung. Daher berechnet man im Prinzip den Mittelwert aus den quadrierten Abweichungen.
Die Varianz ist ein Streuungsmaß, d.h. es soll messen, wie sehr die Werte um den Mittelwert streuen. Ist sie niedrig, heißt das, dass die Abweichungen vom Mittelwert eher gering sind, d.h. die Punkte sind recht nah am Mittelwert. Ist sie hoch, heißt das, dass die Abweichungen eher groß sind, d.h. die Werte streuen stärker (sind weiter vom MIttelwert entfernt).
Zu erwähnen ist auch noch, dass wenn man die durchschnittliche quadrierte Abweichung berechnet, durch die Quadrierung große Abweichungen stärker gewichtet werden. D.h. wenn ein Wert sehr weit vom Mittelwert entfernt ist, zieht er die Varianz noch stärker nach oben, als wenn er näher ist. Und der Unterschied ist nicht etwa proportional, sondern lässt sich eben durch eine quadratische Funktion beschreiben. Wenn ein Wert 2 Punkte vom MIttelwert entfernt ist, trägt er 4 zur Varianz bei. Wenn er hingegen 4 Punkte vom MIttelwert entfernt ist, trägt er gleich 16 Punkte zum Mittelwert bei.
EDIT: ich sehe, Du hast die Frage bearbeitet.
Naja ,danke für die ausführliche Aufklärung. Dennoch hilft mir das nicht bei der Gleichung
ich verstehe nicht , was man da Zeigen kann . In der Frage steht die Definition der Varianz. .::::: Summe der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert , mit n normiert
Zeigen kann man solche Berechnungsarten
Uni. Ich habe einen Teil der musterlösung gesehen ,ich kann ihn nur nicht hier reinschicken aber was man dort erkennt ist das selbe was ich bis jetzt gemacht habe.
Ups ich denke ich hab’s die Varianz ist so definiert σ^2 := 1/n * Σ(x_i - x̄)^2 und für die Varianz gilt σ^2 = 1/n * Σ(x_i - x̄)^2 das steht beides so im Skript
Hat sich jetzt erledigt hab’s gelöst mir fehlte nur das Wissen wie man jede Zahl in einer Summe umschreibt.Nach dem hier =1/n (Σx_i^2 -2 x̄^2+Σx̄^2) kommt =1/n (Σx_i^2 -2Σx̄^2+Σx̄^2) = und das wiederum ist 1/n (Σx_i^2 -Σx̄^2) = 1/n (Σx_i^2 -x̄^2)
Verzeiht bitte meine Ungenauigkeit in der Fragestellung
Ich bezweifle, dass im Nenner n steht und würde (n-1) erwarten, da du durch die gleichzeitige Schätzung des Mittelwerts einen Freiheitsgrad verlierst.
Ja, das hab ich schon öfters gesehen. Nur in unserem Skript steht nur mit n . Ich glaube, es gibt beide Varianten für unterschiedliche Zwecke.
ich verstehe nicht , was man da Zeigen kann . In der Frage steht die Definition der Varianz
Ich glaube, ich soll das Ganze kompliziert schreiben nur um es im Anschluss wieder zu vereinfachen, damit es so dasteht, wie es in der Definition steht. Aber mir würde es ausreichen, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich die Gleichung, die ich da oben soweit umgeschrieben habe, wieder vereinfachen kann zur ursprünglichen Gleichung
Ja, da stimme ich dir vollkommen zu. Das selbe hab ich mir nämlich auch gedacht aber in der Aufgabe steht klar und deutlich zeigen Sie das folgende Äquivalenz gilt :σ^2 = 1/n * Σ(x_i - x̄)^2