Warum darf nicht durch Null teilen und es wurde nie eine Erweiterung eingeführt?
in der Schule sagt man man kann keine negativen Quadratwurzeln ziehen. Wenn man sich mehr mit Mathematik beschäftigt stimmt da nur in den reelen Zahlen. Wenn man diese zu den komplexen Zahlen erweitert gehts dann. Dann sagt man Fakultät geht nur bei natürlichen Zahlen, mit der Gammafunktion geht aber auch die unter R. Aber was man nie definiert hat ist eine Lösung aus für x/0. Warum eigentlich nicht
5 Antworten
Der Unterschied zu den von dir benannten Beispielen ist dass es eben beweisbar keine Möglichkeit gibt ein multiplikatives Inverses zur 0 in einem Körper (z.B. Q, R oder C) zu finden. Tatsächlich kannst du in der Ringtheorie auch Strukturen finden, die nicht nullteilerfrei sind. Dann darf man aber immer noch nicht "durch Null teilen", denn es gibt weiterhin kein Element x für das x*0 = 1, d.h. weiterhin kein multiplikatives Inverses.
Was soll denn x/0, zum Beispiel 3/0 sein?
- 3? Was wäre dann der Unterschied zu 3/1? Dann wäre ja 0 = 1
- 1? Was wäre dann der Unterschied zu 3/3? Dann wäre ja 0 = 3
- 0? Dann hätte man Probleme bei der Umkehroperation 0 * 0 = 3. Man hätte wieder eine Regel, für die man eine Ausnahme definieren müsste.
- einfueger? Ein neues Symbol für das Resultat? Was bringt das für einen Vorteil? Was kann das Symbol? Wie definiert es sich?
- ∞? Ist keine Zahl. Bei Grenzwertbetrachtungen könnte es Sinn ergeben, allerdings muss man beachten, dass das linksseitig für x<>0 gegen -∞ divergiert, rechtsseitig gegen +∞.
Man kann vieles definieren, sollte nur darauf achten, dass es in irgendeiner Form Sinn ergibt.
Als Frage an dich zurück gestellt: Was würdest du mit der Lösung anfangen wollen?
Weil es nicht definierbar ist. Wenn man sich die Grenzwertbetrachtung anschaut, kann man theoretisch, sagen wir mal die Zahl 1 mit einer minimal kleinen Zahl dividieren.
Das Ergebnis wäre nahe unendelich.
Das kann man mit beliebigen Zahlen wiederholen, man würde immer an unendlich angrenzen.
Beispiel:
1 ÷ 10^-88 = ∞
2 ÷ 10^-88 = ∞
Wenn man beide Gleichungen gleich stellt, kann man schließen das 1 = 2 wäre, das stimmt aber nicht.
Nur weil man an unendlich grenzt, kannst du hier nicht Gleichheit folgern.
Das ist zwar kein Beweis, aber mir hat immer ausgereicht, dass die Gegenprobe nie funktioniert, außer für 0/0.
5 / 0 = 0 klingt noch leidlich logisch. Wenn ich 5 Äpfel auf null Leute verteile bekommt jeder nichts. 😉
Die Gegenprobe müsste zwingend funktionieren, aber
0 * 0 ≠ 5
Jeder Mathematiker weiß: Die von Dir gewünschte Erweiterung einzuführen ist unmöglich: einfach deswegen, da die Multiplikation mit Null keine injektive (d.h. umkehrbare) Abbildung darstellt.