Hallo,mit der Gammafunktion lässt sich die Fakultät auch für reelle Zahlen berechnen. Gibt es eine geschlossen Lösbare Umkehrfunktion,ich schaffs nur numerisch?

2 Antworten

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Mathematik

11.06.2015, 12:49

Wenn du eine wirklich geschlossene Form willst, muss man dich leider enttäuschen, es gibt ja nicht einmal eine Elementardarstellung der Gammafunktion selbst sondern nur die Integralschreibweise und eine geschlossene Formel für einige besondere Werte.

Außerdem ist die Gammafunktion nicht in C, nicht einmal in R injektiv. Wenn du den (einzigen) Tiefpunkt in den reellen Zahlen der Gammafunktion α nennst, kannst du die Gammafunktion einschränken und eine Umkehrfunktion in (α,∞) finden. Eine ausführliche Ausarbeitung bietet dieses Vorlesungsskript: http://websites.math.leidenuniv.nl/positivity2013/presentations/uchiyama.pdf

Das dazugehörige Paper der American Mathematical Society findest du hier: www [ . ] ams [ . ] org / journals/proc/2012-140-04/S0002-9939-2011-11023-2/S0002-9939-2011-11023-2.pdf (Kann nur einen Link einfügen keine Ahnung wer sich den Blödsinn ausgedacht hat)

Das ganze Ergebnis dieser Arbeit ist dann eine Integraldarstellung genau wie die Gammafunktion, das ist schonmal ein Anfang und lässt sich mit etwas Mühe ganz ok berechnen.

hypergerd

11.06.2015, 19:12

2. LINK leider mit Kennwort verschlüsselt.

Roach5

14.06.2015, 16:23

@hypergerd

Das war mir nicht aufgefallen, über Google lässt sich die pdf ohne Passwort erreichen. Google einfach "Mitsuru Uchiyama - The Principal Inverse of the Gamma function", das ist der erste Treffer von ams.org, also insgesamt der zweite.

hypergerd

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

11.06.2015, 19:01

Wenn man Funktionen, die irrationale Ergebnisse liefern, mit mehr als den üblichen 15 Stellen (double) berechnen will, kommt man um numerische Algorithmen nicht herum!

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

kennt über 300 Funktionen und viele Umkehrfunktionen (oft auch komplex).

x!=Fak(x) -> Umkehrfunktion: aFak(x)

Gamma(x) -> Umkehrfunktion: aGamma(x)

Beide stehen in keinem Mathe-Buch und jeder Lehrer wird die Existenz leugnen.

Da schon die Ausgangsfunktionen x! und Gamma(x) (bis auf weinige Spezialfälle bei ganzzahligen positiven Argumenten) nur numerisch berechnet werden können

(negative Argumente mit 5 als 1. und einzige Nachkommastelle liefern immer was mit Wurzel(Pi) -> kann es keine "geschlossen lösbare Umkehrfunktion" geben.

80% der Funktionen können auf hypergeometrische Funktionen zurückgeführt werden, die auch nur unendliche Summen aus Pochhammersymbolen sind.

Wer wie ich nichts mit den Näherungsformeln der Taschenrechner anfangen kann { sin(20 rad) rechnen viele nur auf 5 Stellen genau}

kommt um numerische Algorithmen nicht herum.

Auch wenn es zu sin(x) die Umkehrfunktion asin(x) gibt, verdanken sie beide nur den Menschen die Einstufung in "geschlossen lösbare Umkehrfunktion".

Sie hatten eben das Glück, von den Menschen einen Eigennamen bekommen zu haben.

Aus Sicht der Mathematiker sind beide "nur" hypergeometrische Funktionen mit den Parametern:

sin(x)=x * hyg0F1(3/2, -x²/4)

asin(x)=x * hyg2F1(1/2,1/2,3/2,x²)

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(0 1)
(0 0)
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(1 1)
(1 1)
Und da ich gerade auch Split-Komplexe Zahlen lerne, ist mir aufgefallen, dass das das selbe ist wie 1+j, mit j² = 1, und dann Gamma(Epsilon+1) = 1+j wäre. Stimmt das oder habe ich das falsch verstanden?

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