Mathe formeln?

Wenn man bei gleichseitgen n ecken nicht die Bezugsgröße a (seitenlänge) sondern den radius des kreises in dem das n eck liegt ergeben sich andere flächen formeln:

bei einem gleichseitigen 3 eck:

A = 0,433 * a^2

bei 4

A = 1 * a^2

kann mir jemand diese faktoren vor dem a^2 bekannt geben für 3,4,5 ecken

sodass diese formeln diesen schema folgen

A = faktor * r^2

Answer 1

[mihisu]

Ich habe mal eine Skizze (für den Fall n = 5) angefertigt und darin ein paar Bezeichnungen eingetragen.

Den Winkel φ erhält man, indem man einen Vollwinkel (2π im Bogenmaß bzw. 360° im Gradmaß) durch die Anzahl n der Ecken des Vielecks teilt.

$\varphi=\frac{2\pi}{n}\quad \text{bzw.}\quad \varphi=\frac{360\degree}{n}$

Mit Kosinussatz erhält man im blau eingezeichneten Dreieck...

$a^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot \cos\left(\varphi\right)$

$\rightarrow\quad a^2=2\cdot r^2-2\cdot r^2\cdot \cos\left(\varphi\right)$

$\rightarrow\quad a^2=2\cdot r^2\cdot \left(1- \cos\left(\varphi\right)\right)$

$\rightarrow\quad a^2=2\cdot r^2\cdot \left(1- \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)$

$\rightarrow\quad r^2=\frac{a^2}{2\cdot \left(1- \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)}$

Für den Flächeninhalt des blau eingezeichneten Dreiecks erhält man...

$A_\Delta=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot \sin\left(\varphi\right)$

$\rightarrow\quad A_\Delta=\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot \sin\left(\varphi\right)$

$\rightarrow\quad A_\Delta=\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

Für den Flächeninhalt des n-ecks erhält man dann...

$A=n\cdot A_\Delta$

$\rightarrow\quad A=n\cdot \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

$\rightarrow\quad A=n\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{2\cdot \left(1- \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

$\rightarrow\quad A=\frac{n \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{4\cdot \left(1- \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)}\cdot a^2$

Für n = 3 erhält man dann beispielsweise...

$A=\frac{3 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{4\cdot \left(1- \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)}\cdot a^2=\frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\cdot \left(1- \left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\cdot a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2\approx 0\text{,}43301\cdot a^2$

Für n = 4 erhält man beispielsweise...

$A=\frac{4 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right)}{4\cdot \left(1- \cos\left(\frac{2\pi}{4}\right)\right)}\cdot a^2=\frac{4 \cdot 1}{4\cdot \left(1- 0\right)}\cdot a^2=1\cdot a^2$

Für n = 5 erhält man beispielsweise...

$A=\frac{5 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)}{4\cdot \left(1- \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\right)}\cdot a^2=\frac{5 \cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{4\cdot \left(1- \frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)}\cdot a^2\approx 1\text{,}72048\cdot a^2$

kann mir jemand diese faktoren vor dem a^2 bekannt geben für 3,4,5 ecken

Das habe ich nun mit den soeben genannten Beispielen erledigt.

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sodass diese formeln diesen schema folgen

A = faktor * r^2

Du möchtest das jetzt also auch noch auf r² bezogen, statt auf a² bezogen, haben, soweit ich das sehe. Richtig?

Dann nuzte die bereits in meiner Antwort zuvor hergeleitete Formel...

$A=n\cdot \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

$\rightarrow\quad A=\frac{n}{2}\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\cdot r^2$

Für n = 3 erhält man dann beispielsweise...

$A=\frac{3}{2}\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cdot r^2=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot r^2=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot r^2\approx 1\text{,}29904\cdot r^2$

Für n = 4 erhält man beispielsweise...

$A=\frac{4}{2}\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right)\cdot r^2=\frac{4}{2}\cdot 1\cdot r^2=2\cdot r^2$

Für n = 5 erhält man beispielsweise...

$A=\frac{5}{2}\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)\cdot r^2=\frac{5}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\cdot \sqrt{5}}}{4}\cdot r^2\approx 2\text{,}37764\cdot r^2$

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Comments

[MATHECLUES]

vielen herzlichen dank für die mühe

Answer 2

[evtldocha]

Wenn der Umkreisradius "r" gegeben ist, dann ist die Fläche eines einbeschriebenen n-Eckes:

$A_n=\frac{1}{2}n\cdot r^2\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

Herleitung über die Verbindung des Mittelpunkts des Umkreises mit einer der Ecken des Vieleckes, Betrachtung der Winkel und damit dann die Berechnung der Höhe eines elementaren Dreieckes. Am Ende ist dann noch ein Additionstheorem für die Umformung sin(x)·cos(x) = 1/2·sin(2x) hilfreich.

Comments

[MATHECLUES]

Vielen dank