Entfernung Mittelpunkt -> Ecke beim gleichseitigen Dreieck?

3 Antworten

Im Mittelpunkt schneiden sich h_A und h_B

In einem gleichseitigen Dreieck haben alle Winkel 60 °

Die Steigung der Geraden die h_A bildet hat hat den Steigungswinkel 30 °
und die Steigung der Geraden die h_B bildet hat den Steigungswinkel - 30°

m = tan(Steigungswinkel)

Nun die Geradengleichungen aufstellen :

1-te Gerade :

g _ 1 = 0.577350269 * x

2-te Gerade :

m = - 0.577350269

Punkt (a | 0)

0 = - 0.577350269 * a + b

b = 0.577350269 * a

g _ 2 = - 0.577350269 * x + 0.577350269 * a

Schnittpunkt der beiden Geraden :

0.577350269 * x = - 0.577350269 * x + 0.577350269 * a

2 * 0.577350269 * x = 0.577350269 * a | : 0.577350269

2 * x = a

x = a / 2

in g _ 1 einsetzen :

0.577350269 * (a / 2) = tan(30°) * a / 2

Abstand
zwischen dem Punkt (0 | 0) und dem Punkt (a / 2 | tan(30°) * a / 2) mit
der Abstandsformel zwischen zwei Punkten ausrechnen (Internet) :

d = √((a / 2) ^ 2 + (tan(30°) * a / 2) ^ 2)

tan(30°) ^ 2 = (1 / 3)

d = √((1 / 4) * a ^ 2 + (1 / 12) * a ^ 2)

d = √((3 / 12) * a ^ 2 + (1 / 12) * a ^ 2)

d = √((4 / 12) * a ^ 2)

d = a / √(3)

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Eine völlig andere Herleitung :

In einem gleichseitigen Dreieck gilt folgendes :

3 * a = h * √(12)

also

h = 3 * a / √(12)

außerdem betragen alle Winkel 60 °

Wenn du nun a / 2 und Winkel (60 ° / 2) nimmst und auf  das rechtwinklige Dreieck überträgst, dann erhältst du :

Gamma = 90 °

b = a / 2

Alpha = 30 °

a = b * tan (Alpha)

c = a / sin (Alpha)

Beta = 90 ° - Alpha

a = (a / 2) * tan(30°)

c = (a / 2) * tan(30°) / sin(30°)

Beta = 60 °

tan(30°) / sin(30°) = 2 / √(3)

c = (a / 2) * 2 / √(3) = a / √(3)

c = a / √(3)

Da ich den Abstand oben d genannt hatte also :

d = a / √(3)

Es bleibt also dabei, die Entfernung des Mittelpunktes zu einem Eckpunkt beträgt im gleichseitigen Dreieck d = a / √(3)

Wie konstruierst Du den Mittelpunkt? Hat was mit den Senkrechten auf der halben Seite zu tun.

mit sqrt(3) / 2  * a

aber ich weiß nicht weiter. 

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