Hey, lässt dich diese folgende Aufgabe mithilfe von dem Kreuzprodukt berechnen?
Hey, dies ist die folgende Aufgabe:
Lässt sich diesen allgemeinen Vektor auch mithilfe von dem Kreuzprodukt lösen?
Vielen Dank.
2 Antworten
Für den gesuchten Vektor (x,y,z) muss gelten:
(a) -x + 3y + 2z = 0
(b) x + z = 0
Aus (b) folgt z = -x. Das in (a) einsetzen
(a) -x + 3y -2x = 0
Daraus folgt y = x
Der gesuchte Vektor lautet (x,x,-x). Der Wert x ist beliebig, ausser 0, also z.B.
(1,1,-1) oder (3,3,-3) oder (-7,-7,7)
Setzt man x = -t, dann lautet der Vektor (-t, -t, t). Negative x-Werte sind nicht ausgeschlossen.
Okay, könnte ich dies jedoch auch mit dem Kreuzprodukt berechnen?
Ja, aber dann gibt es nur eine Lösung: (-1,3,2) x (1,0,1) = (3,3,-3)
Okay, wenn ich nun hinter diesen Vektor noch einen Parameter (z.B. k) hinschreibe, ist diese Aufgabe dann vollständig berechnet? Also als Ergebnis: (3/3/-3)•k —>Für alle Vektoren.
Stimmt dies so?
Ist richtig. Das Kreuzprodukt ist aber in drei Dimensionen schwerer zu berechnen als das Skalarprodukt.
Okay, also wäre der Vektor (3/3/-3)•k hierbei die korrekte Lösung?
Ja, ist richtig, aber man schreibt dann als Lösung besser gleich (x,x,-x) oder (t,t,-t).
Okay, aus welchem Grund? Was passiert den mit der drei?
Okay, aus welchem Grund? Was passiert mit den Zahlen?
(3,3,-3)*k = (3k, 3k, -3k). Das kann man so stehen lassen, aber rein formal würde man den Faktor 3 (=Skalar) kürzen. Dann bleibt der Vektor (k,k,-k) stehen, und man kann für k alle Werte ausser 0 einsetzen. Alle Vektoren (k,k,-k) haben dieselbe Richtung, und darum geht es ja. Die Länge des Vektors spielt keine Rolle.
Okay, also sollte man bei diesen Aufgaben, wobei man alle orthogonalen Vektoren angeben müsste, den letztendlichen Faktor immer noch kürzen, sodass der Faktor quasi wegfällt und nur noch der Parameter bestehen bleibt?
Stimmt dies so?
Beispiel: Angenommen die Lösung irgendeiner Aufgabe wäre 3*x, und x € R. Dann kann man als Lösung genauso nur x angeben, denn x ist ja beliebig.
Okay, aber wenn ich als Lösung den Vektor (3/3/-3)•k hinschreiben würde, dann wäre es genauso korrekt, oder wäre es dann nicht allgemein genug (also nicht auf alle Vektoren bezogen)?
Die Lösung (3,3,-3)*k ist korrekt, rein formal wäre (k,k,-k) besser.
Okay, also sollte man bei solch einer Fragestellung immer die Faktoren (hier drei) kürzen, sodass nur noch der Parameter mit dessen Vorzeichen erhalten bleibt?
Stimmt dies so?
Was ist, wenn der entstehende Vektor (5/3/-1) lautet. Könnte ich dies dann auch kürzen und als Lösung für alle orthogonalen Vektoren (k/k/-k) hinschreiben, oder sollte ich als Lösung den Vektor (5/3/-1)•k für alle orthogonalen Vektoren hinschreiben?
Ja. Einfach Vektorprodukt aus a und b berechnen. Dieser Vektor ist orthogonal zu a und b. Die Menge aller orthogonaler Vektoren besteht aus dem berechneten Vektor, multipliziert mit einer beliebigen reellen Zahl (ausser null).
multipliziert mit einer beliebigen reellen Zahl (ausser null).
Auch 0 wäre möglich
Zwei Vektoren sind somit zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Der Nullvektor ist dabei zu allen Vektoren orthogonal.
Quelle
Ah OK, vielen Dank!! War mir darüber nicht sicher und wollte ich eigentlich noch nachschauen. Hätte ich besser vorher tun sollen...
Kein Problem! Ich hab mich schon häufiger geirrt. Es ist ja auch schon von der Anschauung her merkwürdig, dass der Nullvektor senkrecht zu jdem Vektor ist.
Okay, also wäre die Lösung der Vektor (3/3/-3)•k?
Stimmt dies so?
Ja. Die Menge der orthogonalen Vektoren ist gleich
{k*(1,1,-1) | k ist reell und ungleich null}
Okay, vielen Dank. Ist die Lösung nun der Vektor (1/1/-1) oder der Vektor (3/3-3)•k?
Die Mengen {(1,1,-1)*k | k reell} und {(3,3,-3)*k | k reell} sind ja identisch. Kurz gesagt einfach alle skalaren Vielfachen vom Vektorprodukt (3,3,-3). Dachte, (1,1,-1)*k sei etwas schöner;-)
Okay, also ist es für diese Aufgabe irrelevant, ob man nun den Vektor (1/1/-1)•k oder (3/3/-3)•k als Lösung für die Menge aller orthogonalen Vektoren hinschreiben?
Oder müsste man, da man ja „alle“ Vektoren hinschreiben müsste, den Vektor (k/k/-k) hinschreiben?
Hey, vielen Dank. Für die Menge aller orthogonalen Vektoren müsste ich also nur das Vektorprodukt zwischen Vektor a und Vektor b berechnen und hinter diesen Vektor beispielsweise ein k hinschreiben (einen Parameter)? Stimmt dies so?
Okay, also müsste ich, um die Menge aller orthogonalen Vektoren zu bestimmen, vorerst dieses Vektorprodukt aus dem Vektor a und dem Vektor b berechnen (mit dem Kreuzprodukt) und anschließend hinter jeden Wert (x1, x2 und x3) des entstehenden Vektors noch ein Parameter hinschreiben?
Hey, die Lösung lautet (-1t/-1t/t)? Wie kommt man jedoch auf diesen Parameter?