Extremalprobleme einfacher lösen?
Hallo,
ich habe seit einer Weile Extremalprobleme in Mathe. Bin eigentlich gut in Mathe aber da hab ich echt Schwierigkeiten. Ich verstehe schon wie’s funktioniert aber wenn ich dann mal eine sehr schwierige vor mir habe bekomm ich echt gar nix hin. Zb weiß ich nicht wie ich dann aus dem was ich habe bitte ne Funktion aufstellen soll… ich hänge mal ein Beispiel an, welches mir Probleme bereitet. Kann man ja vielleicht auch gleich dran erklären, also zwei Fliegen mit einer Klappe.
Ok danke schonmal im Vorraus für die Hilfe🙏🏼
Zur Aufgabe: Oberfläche Dreieck=a•b Da symmetrisch
Oberfläche Dreieck= 2a•b
wie soll ich jetzt daraus bitte eine Formel herleiten…?
3 Antworten
a)
Die blaue Gerade auf der positiven Seite der x-Achse lautet
f(x) = 7 - 14/3*x
Das Rechteck hat eine Fläche von
A(x) = 2*x*f(x) = 2*x*(7 - 14/3*x) = -28/3*x² + 14x
A'(x) = -56/3*x + 14
A'(x) = 0 für x = 3/4
Das ist ein Maximum, weil A''(3/4) < 0 ist.
A(3/4) = 5.25
b)
Das Dreieck aus Aufgabe a) taucht als Längsschnitt durch die Pyramide auf, wenn man diese in zwei Hälften teilt. Der Quader hat dann das Volumen:
V(x) = (2*x)*(2*x)*f(x) = 4*x²*(7 - 14/3*x) = -56/3*x³ + 28x²
V'(x) = -56*(x-1)*x
V'(x) = 0 für x = 0 und x = 1 (Maximum)
V(1) = 28/3
Es gibt doch eine einfachere Lösung auf Basis der Teilaufgabe a). Habe meine Antwort entsprechend geändert.
Ok hab’s jetzt doch verstanden denke ich. Danke 🙏🏼
Der Ansatz wie bei a) funktioniert nicht ohne weitere Überlegungen. Vergleicht man eine Seite der Pyramide mit dem Dreieck bei a), ist die Höhe != 7. Die Höhe hS einer Seite der Pyramide ergibt sich aus Pythagoras (3/2)² + 7² = hS². hS ist also > 7. Außerdem reicht bei der Optimierung des Volumens die maximale Fläche einer Seite des Quaders nicht aus.
b) geht von folgender Idee aus: wo der Quader oben an die Kanten der Pyramide stösst, entspricht die obere (aber auch die untere) Grundfläche des Quaders der quadratischen Grundfläche einer kürzeren Pyramide. Man muss alo nur die Basislänge der kürzeren Pyramide bestimmen, dann hat man die Grundfläche des Quaders. Die Basislänge in Abhängigkeit der Höhe des Quaders h ist die Funktion k(h). k(h) folgt aus dem Strahlensatz, d.h. die Basislänge der kürzeren Pyramide verändert sich proportional zur Höhe des Quaders.
Flächeninhalt Rechteck ist Grundseite mal Höhe. Wegen der Symmetrie reicht es, sich auf eine Hälfte zu beschränken.
Zielfunktion: A/2 = x *h
Nebenbedingung: h = f(x). Dazu muss die Funktionsgleichung der Geraden aufgestellt werden: f(0) = 7 = b, Steigung m = -7/1,5.
A/2 = x*((-7/1,5)*x+7)
Maximum suchen wie (hoffentlich) bekannt.
Betrachten wir das linke Dreieck. Es reicht wegen der Symmetrie eine Hälfte zu untersuchen.
Variante 1) mittels Funktion
A = x * f(x)
f(x) ermittelst Du über die Punkte (1,5│0) und (0│7)
Variante 2) mittels Strahlensatz
A = a * b ; a ist die halbe Grundseite und b die Höhe des Rechtecks.
Es gilt:
(1,5 - a) / b = a / (7 - b)
Nach a oder b umstellen und in die erste Gleichung einsetzen.
Cool danke für deine Hilfe. Hätte nur zwei Fragen und zwar einmal, ob man nicht auch einfach die Funktion aus a) nehmen kann und diese sozusagen als Querschnitt der Pyramide betrachte. Da diese ja symmetrisch ist, wäre der dritte Wert, für die Tiefe, einfach die Länge der unteren Seite des Rechtecks. Würde das gehen? Und zweitens ob du evt. deine Erklärung ein bisschen ausschreiben könntest, da ich deinem Gedankengang leider nicht ganz folgen kann?