Darf ich nach "k" umformen?
Ich habe die Funktion f(x) = x^5 -2kx^4 +k^2 x^3.
Dazu muss ich eine Kurvendiskussion machen, aber ich hänge bei der Berechnung der Nullstellen fest, da es ja zumal diese Variable k gibt.
Ich habe das jetzt wie folgt gemacht:
x^5 -2x^4 +k^2 x^3 = 0 /ausklammern
x^3 (x^2-2kx-k^2) = 0
x1=0
x^2 - 2kx - k^2 = 0 /pq Formel
x2/3 = (2k/2) ± √(-2k/2)^2 + k^2
vereinfacht:
x2/3: 1k ± √(k+k^2)
x2 = k+√(2k^2)
= k + 2k
x3 = k-√(2k^2)
= k - 2k
Für meine Nullstellen brauche ich ja konkrete Zahlen, dürfte ich dann hier nach k auflösen?
5 Antworten
Bis hierher warst du gut unterwegs:
x^5 -2kx^4 +k^2 x^3 = 0 /ausklammern
aber dann bist du falsch abgebogen (Vorzeichenfehler). Das fehlende k bei 2kx^4 hast du dann wieder ergänzt
x^3(x^2 -2kx +k^2) = 0
x1 = 0 (dreifache Nullstelle = Sattelpunkt)
pq-Formel:
p = -2k; q = k^2
x2/3 = (2k/2) ± √(-2k/2)^2 - k^2 = k ± √k^2 - k^2 = k ± √0 = k
x2 = k (doppelte Nullstelle)
Beispiel:
k = 1:
x1 = 0; x2 = 1
k = 3
x1 = 0; x2 = 3:
Ja, k ist ein sogenannter Parameter. Ein Parameter ist ein Zwitter zwischen einer Zahl und einer Variablen. Bei der ganzen Rechnerei wird ein Parameter wie eine feste Zahl behandelt. Wenn man dann das Ergebnis hat, kann man den Parameter, hier k, durch eine beliebige Zahl ersetzen und gucken was rauskommt.
und wir haben jetzt für x2 und x3 die Nullstelle k, richtig?
Ja, richtig. Genau genommen fallen x2 und x3 zusammen, sodass wir besser von x2 als einer doppelten Nullstelle sprechen.
oh man, ich danke dir so sehr, das hat mir vieles erklären können! :-)
Alles ist ja bis zum zweiten Schritt richtig. Dabei sehe ich einen Fehler bei der Anwendung der zweiten, binomischen Formel, den Du korrigieren solltest. 😊
Das hier ist ja eine Nullstelle mit einer Vielfachheit von 3, aber wir müssen ja nach dem Wert des inneren Klammers lösen.
Übringens musst Du hier nur die 2. binomische Formel anwenden, was
ist. Dafür hättest Du Dir die pq-Formel sparen können, was zu viel Zeit dauert. 🙈🙈 Das hat eine Vielfachheit von 2. Davon sind die Nullstellen x_1 = 0 und x_2 = k. :)
Für meine Nullstellen brauche ich ja konkrete Zahlen, dürfte ich dann hier nach k auflösen?
In diesem Fall kannst Du mal k mit einem, bestimmten Wert wie z. B. 1 oder 2 ersetzen und dann sehen, wie es läuft. 😁👍
Hallo,
x^5 -2x^4 +k^2 x^3 = 0 /ausklammern
x^3 (x^2-2kx-k^2) = 0
In der Klammer hast du einen Vorzeichenfehler.
x^3 (x^2-2kx + k^2) = 0
x³•(x-k)²=0
🤓
PS:
Eine kleine Animation:
Für meine Nullstellen brauche ich ja konkrete Zahlen
Warum? Du bekommst eine doppelte Nullstelle als Funktion von "k". Das ist bei einer Kurvenschar in den meisten Fällen so.
PS: Deine pq-Formel hättest Du Dir sparen können, wenn nicht plötzlich aus einem Plus-Zeichen ein Minus-Zeichen vor dem k² geworden wäre:
Es ergeben sich also eine 3-fache Nullstelle bei x=0 und eine weitere doppelte Nullstelle bei x = k (die dann eben von der Wahl von "k" abhängig ist)
Tipp: Gib mal Deinen Funktionsterm (inkl. "k")in geogebra.org eine und lass die Animation "über k" laufen. Sowas ist sehr erhellend, wenn man das laufen lässt, nachdem man es gerechnet hat (Bedauerlicherweise kann man hier keine animierten gifs hochladen)
darf ich ? Du musst !
Lösungen wie : Extrempunkte liegt bei kx + 1 oder bei k² sind normal . Legt man k in f_k(x) fest , hat man sofort die Extrema
pq-Formel ist dasselbe : p und q sind Parameter . Daher passt sie halt immer , wenn 1x² + px +q vorhanden ist :))
bedeutet das etwa, dass ich beliebige Zahlen für k einsetzen darf?