Würdet ihr sagen, dass die Funktion im Intervall von -3 kleinergleich x kleinergleich 3 konkav ist? Und konvex wäre sie von -11 bis -7?
1 Antwort
Ja, die Funktion ist im Intervall {x ∈ ℝ | -11 ≤ x < 7} konvex und die Funktion ist im Intervall {x ∈ ℝ | -3 ≤ x ≤ 3} konkav.
Außerdem ist die Funktion auch im Intervall {x ∈ ℝ | -7 < x ≤ 3} konvex. Und die Funktion ist im Intervall {x ∈ ℝ | 3 ≤ x ≤ 11} sowohl konvex als auch konkav.
Naja. Die Aufgaben sind in der Regel dann auch so gestellt, dass man sie ohne Taschenrechner bewältigen kann.
Bei zweimal differenzierbaren Funktionen kann man die Konvexität bzw. Konkavität mit der zweiten Ableitung feststellen. Hinreichende Bedingung für Konvexität der Funktion in einem Intervall ist, dass die zweite Ableitung dort positiv ist. Hinreichende Bedingung für die Konkavität der Funktion in einem Intervall ist, dass die zweite Ableitung dort negativ ist.
Achso alles klar. Danke. Aber wie hätte man denn ohne Graphen die Extrempunkte bestimmen sollen?
Zunächst einmal sollte (wie bereits in meiner Antwort auf eine andere deiner Fragen beschrieben) klar sein, dass die Stellen x = -11 und x = 11 (als Ränder des Definitionsbereichs) und die Stellen x = -3 und x = 3 (als Stellen, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist) genauer betrachtet werden müssen.
Bei den Randstellen kann man hier mit Hilfe der ersten Ableitung rechnen...
f′(x) = 1/(x+7)² für -11 ≤ x < -7
f′(x) = -1/(x+7)² für -7 < x < -3
f′(x) = -1/(2 ⋅ √(3-x)) für -3 < x < 3
f′(x) = 1 für 3 < x < 7
f′(x) = 1 für 7 < x < 11
Die erste Ableitung an der Stelle x = -11 ist positiv, da f′(-11) = 1/16 > 0 ist. Dementsprechend steigen die Funktionswerte an, wenn man von x = -11 ausgehend nach rechts wandert. Demnach hat man (da auch andererseits nicht nach links gewandert werden kann) bei x = -11 ein lokales Minimum, da dort der kleinste Funktionswert in der Umgebung ist.
Die erste Ableitung an der Stelle x = 11 ist positiv, da f'(11) = 1 > 0 ist. Dementsprechend steigen die Funktionswerte an, wenn man von links kommend Richtung x = 11 wandert. D.h. die Funktionswerte sind in einer Umgebung links von x = 11 kleiner als der Funktionswert an der Stelle x = 11.
An den Stellen x = -3 bzw. x = 3 solltest du versuchen, die Funktionswerte entsprechend abzuschätzen...
Für -3 ≤ x < 3 ist [wegen x ≥ -3 unter Ausnutzung der Monotonie der Wurzelfunktion] f(x) = √(3-x) ≤ √(3-(-3)) = f(-3). [Nun kann man noch versuchen auch linksseitig eine Umgebung zu finden, in der die Funktionswerte kleiner als an der Stelle x = -3 sind.] Für -4 ≤ x < -3 ist f(x) = 1/|x + 7| = 1/(x + 7) ≤ 1/(-4 + 7) = 1/3 < 1 = √(1) < √(6) = √(3 - (-3)) = f(-3). Damit hat man also eine Umgebung [-4; 3[ um die Stelle x = -3 gefunden, in der f(-3) der größte Funktionswert ist. Dementsprechend ist bei x = -3 ein relatives Maximum.
[Wie du evtl. auch bereits an der ersten Ableitung erkennst, ist die Funktion direkt links von der Stelle x = 3 fallend und direkt rechts von der Stelle x = 3 steigend. Demnach liegt es nahe, dass an der Stelle x = 3 vermutlich ein lokales Minimum liegt.] An der Stelle x = 3 ist f(3) = (3² - 10 ⋅ 3 + 21)/(3 - 7) = (9 - 30 + 21)/(-4) = 0/(-4) = 0. Für -3 ≤ x < 3 ist f(x) = √(3-x) ≥ 0 = f(3). Für 3 ≤ x < 7 ist f(x) = (x² - 10x + 21)/(x - 7) = x - 3 ≥ 3 - 3 = 0 = f(3). Damit hat man also eine Umgebung [-3; 7[ um die Stelle x = 3 gefunden, in der f(3) der kleinste Funktionswert ist. Dementsprechend ist bei x = 3 ein relatives Minimum.
Eine Frage hätte ich da noch. Bei uns an der Uni Weimar ist es so wir rechnen ohne Taschenrechner in der Klausur. Kann ich rechnerisch eine Funktion auf Konvexität oder Konkavität überprüfen?