Wir haben die Energie von 25 eV zur Verfu¨gung. Auf welche Geschwindigkeit kann man damit ein Elektron (das ist ein Elementarteilchen mit der Masse me = 9, 1 ·?

Wir haben die Energie von 25 eV zur Verfu¨gung. Auf welche Geschwindigkeit kann man damit ein Elektron (das ist ein Elementarteilchen mit der Masse me = 9, 1 · 10−31kg) aus dem Stillstand (horizontal) beschleunigen? Was bedeutet ein negatives Vorzeichen bei der Energie¨anderung?

3 Antworten

SlowPhil

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Lichtgeschwindigkeit, Quantenphysik, Relativitätstheorie

20.03.2024, 17:03

Hallo atturkk,

Du kannst die kinetische Energie Eₖ = 25 eV in Joule umrechnen, was ich hier grob tue:

25 eV ∙ 1,6×10⁻¹⁹ J⁄eV = 4×10⁻¹⁸ J.

Teilst Du das durch c², um zu erfahren, wieviel diese Energie "wiegt", kannst Du das mit der Elektronenmasse vergleichen:

4×10⁻¹⁸ J ÷ 9×10¹⁶ m²⁄s² = 4⁄9×10⁻³⁴ kg < 4,5×10⁻³⁵ kg,

was einen Anteil von weniger als 5×10⁻⁵ an der Masse mₑ des Elektrons ausmacht, etwas genauer

ε ≈ 4,9×10⁻⁵.

Daher machst Du mit der Umstellung der aus der NEWTONschen Mechanik (NM) bekannten Formel

(1.1) Eₖ ≈ ½mₑv²

nach v keinen großen Fehler:

(1.2) v = √{2Eₖ⁄mₑ}

in Zahlen v = √{8×10⁻¹⁸J ÷ 9,1×10⁻³¹ kg} ≈ √{8,8×10¹² m²⁄s²} ≈ 2,96×10⁶ m⁄s, also knapp 10⁻²c.

Wenn Du größere Energien rechnen willst, langt das nicht mehr. Dann musst Du die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) anwenden.

Dazu brauchst die Ruheenergie E₀ = mₑc² des Elektrons in eV. Sie beträgt 511 keV = 5,11×10⁵ eV. Notfalls kannst Du die Dir in 2 Schritten aus der Masse ausrechnen mit c² ≈ 9×10¹⁶ m²⁄s² und k ≈ 1,6×10⁻¹⁹ J⁄eV.

Mit der zusätzlichen kinetischen Energie Eₖ kommen wir auf die Gesamtenergie E = E₀ + Eₖ, und es ist

(2.1) E⁄E₀ = E₀/√{1 − (v⁄c)²} =: γE₀,

wobei γ der berühmte LORENTZ-Faktor ist. Dann musst Du (2.1) nach v umstellen und bekommst

(2.2) v = c∙√{1 − (E₀⁄E)²}.

Wenn wir 25 eV zugrunde legen, können wir das ε von oben verwenden; es ist γ = 1 + ε.

Da ε << 1, ist (E₀⁄E)² = (1/(1 + ε))² ≈ (1 − ε)² ≈ 1 − 2ε, und so ist

(2.3) v ≈ c∙√{2ε},

und wenn wir ε statt als 9,8×10⁻⁵ als 98×10⁻⁶ schreiben, können wir leicht die Wurzel ziehen und kommen auf 9,9×10⁻³. Mit c ≈ 3×10⁸ m⁄s multipliziert ergibt das 2,97×10⁶ m⁄s.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – + Auseinandersetzung mit Gegnern der RT

Franz1957

20.03.2024, 00:43

Nimm die übliche Formel für kinetische Energie und forme sie so um, dass Du damit die Geschwindigkeit bekommst. Dann setze für die Masse me und für die Energie die 25 eV ein.