Wie berechnet man die Wurzel?
Muss man das minus einfach vor die wurzel ziehen oder muss man mit den konplexen Zahlen rechnen.
Ich würde mich auch über einen Rechenweg freuen.
Dankeschön
5 Antworten
Auch höhere Wurzeln von negativen Zahlen werden grundsätzlich als nicht definiert festgelegt.
Die Gleichung zn = a lässt sich im Komplexen mit der Polardarstellung lösen. Bei der komplexen Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. Der Betrag von z ist also die n-te Wurzel des Betrages von a. Und eine Lösung für das Argument von z ist ein n-tel des Argumentes von a. Beim Argument muss man aber auch die 2π-Periodizität beachten. Wenn sich t und s um ein ganzzahlig Vielfaches von 2π unterscheiden gilt exp(it) = exp(is). Das heißt, wenn das Argument t zu einer Lösung der Gleichung gehört, dann bekommt man durch Addition von Vielfachen von 2π/n weitere mögliche Argumente. Es genügt, nur Argumente im Intervall [0,2π[ zu betrachten, da man wegen der Periodizität wieder die gleichen Zahlen bekommt.
Im Fall n = 3 und a = -8 wäre der Betrag |a| = 8 und das Argument t = π und für eine Lösung gilt |z| = 2 und t ∈ {π/3, π/3 + 2π/3, π/3 + 4π/3}.
- z1= 2 (cos(π/3) + i sin(π/3))
- z2= 2 (cos(π) + i sin(π))
- z3= 2 (cos(5π/3) + i sin(5π/3))
Das könnte man jetzt in den Taschenrechner eingeben. In dem Fall könnte man die Werte für die trigonometrischen Funktionen auch so wissen, zumindest von z2.
Eigentlich nicht, aber….! Schau selber. Ist komplex.
https://www.ruhr-uni-bochum.de/mathe-wiwi/skripte/wurzel.pdf
Man kann auch einfach die n-te Wurzel der reelllen Zahl a als diejenige reelle Zahl definieren, deren n-te Potenz a ist, - wenn überhaupt eine solche Zahl existiert, und wenn es mehrere solche Zahlen gibt, diejenige mit dem positiven Vorzeichen.
Damit ist die dritte Wurzel von -8 eindeutig -2.
Dass man Widersprüche erzeugen kann, ist kein spezifisches Problem für Wurzeln, wir brauchne auch z. B. bei Gleichungen mit Produkten Fallunterscheidungen, wenn ein Faktor 0 werden kann, und natürlich generell bei Umkehrfunktionen von nichtinjektiven Funktionen.
Bei Wurzeln mit 3 vor dem Zeichnen sollte man das Negativ Zeichnen nicht ziehen.
Hier kannst Du das mit diesem Beispiel vergleichen. Die Wurzel von 16 sind -4 und +4, obwohl die alleine, reelle Wurzel von -8 -2 ist. ^^
Außerdem dürfen nur ungerade Zahlen vor dem Wurzel stehen, wenn die Lösungsmenge nur zu x € R eingeschränkt ist. In anderen Fällen gibt es keine Lösung dazu.
Nehme das hier als Beispiel : sqrt(-25) mit einer Einschränkung zu :
x € C -> x = +/- 5i
x € R -> keine Lösung
Im Prinzip stellst du dir einfach die Frage welche Zahl wie oft mal 3 genommen werden muss damit -8 rauskommt.
In diesem Fall wäre also die dritte Wurzel von -8 = -2 da (-2)×(-2)×(-2) = -8
Da es mit komplexeren Werten schwierig ist schwierig ist durch überlegen an eine Lösung zu kommen, kann man bei solchen Aufgaben oft einen Taschenrechner verwenden.
Beachte das nur eine negative Zahl unter der Wurzel stehen darf wenn der Wurzelexponent ungerade ist, ansonsten ist das Ergebnis nicht definiert.
Es gibt mit -2 eine reelle Wurzel.
Im Komplexen gibt es noch zwei weitere: 1+i√3 und 1-i√3