Wie berechne ich die Funktionsgleichung?

Wie geht das?

Answer 1

[MichaelH77]

f(x)=ax²+bx+c

durch Schaubild gegeben:
f(0)=0
f(u/2)=9
f(u)=0
alternativ kann auch f'(u/2)=0 verwendet werden

damit können a, b und c in Abhängigkeit von u berechnet werden

ausserdem noch Integral von 0 bis u f(x) dx = 36
daraus kann dann das u berechnet werden

Answer 2

[evtldocha]

Ansatz: $\left(1\right)\ f\left(x\right)=a\cdot x\cdot\left(x-u\right)$ $\left(2\right)\ f\left(\frac{u}{2}\right)=9$

(2) mit (1) liefert: $a\cdot\frac{u}{2}\cdot\left(\frac{u}{2}-u\right)=-a\cdot\frac{u^2}{4}=^{\left(!\right)}9\ \to a=-\frac{36}{u^2}$

Die Funktion ist also $f\left(x\right)=-\frac{36}{u^2}\cdot x\cdot\left(x-u\right)$

Nun bestimmen wir u: $\int_0^{^u}-\frac{36}{u^2}\cdot x\cdot\left(x-u\right)\ dx\ =\ -\frac{36}{u^2}\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}u\cdot x^2\right]_{_0}^{^u}=...\ =\ 6\cdot u$

Also $6u\ =\ 36\ \to u=6$

Und damit ist die Funktion: $f\left(x\right)=-x\cdot\left(x-6\right)=-x^2+6x$

Skizze: