Matrix Eigenwerte Orthogonale Matrix?
Kann mir jemand bei der b und c helfen? Die b habe ich mit dem Orthogonalisierungsverfahren gelöst aber da kommt etwas falsches raus
Eigenwerte sind -2,7
Eigenvektoren sind -0,5,1,1 , 2,1,0 und 2,0,1
2 Antworten
Die Eigenwerte und Eigenvektoren sind schonmal richtig. Wahrscheinlich ist bei der Orthogonalisierung etwas falsch gelaufen, denn das ist eigentlich der richtige Lösungsweg.
Denke auch daran, die orthogonalisierten Vektoren zu normieren, denn sonst können die Eigenschaften der orthogonalen Matrix Q nicht genutzt werden.
Bei der c) nutzt man den Ansatz:
...
(b)
Die einfachste Begründung ist, dass A symmetrisch ist.
Du hast bei (a) ja schon die Eigenräume berechnet und Eigenvektoren angegeben. Die Matrix Q besitzt dann als Spaltenvektoren die drei von dir angegebenen Vektoren.
(c)
A⁵ kannst du leicht berechnen, denn es gilt (wenn D die Diagonamatrix von A ist)
D = Q⁻¹ A Q
Q D Q⁻¹ = A
(Q D Q⁻¹)⁵ = A⁵
Q D Q⁻¹ Q D Q⁻¹ Q D Q⁻¹ Q D Q⁻¹ Q D Q⁻¹ = A⁵
Q D⁵ Q⁻¹ = A⁵
da Q⁻¹ Q = E₃ und D E₃ = D.
D⁵ ist leicht zu berechnen, denn das ist gerade diag( (–2)⁵ , 7⁵ , 7⁵ ).
Das Ergebnis lautet
