Komplexe Matrix diagonalisieren?
Hallo, ich soll die gegebene Matrix H diagonalisieren und die Eigenwerte und Eigenvekotren dabei bestimmen. Die Eigenwerte habe ich schon herausbekommen, jedoch weiß ich nicht wirklich genau wie ich beim Eigenvektor zum ersten Eigenwert weiterkomme. Wäre lieb wenn mir jemand den nächsten Rechenschritt erläutern könnte.
2 Antworten
Die Eigenwerte hast du korrekt berechnet, entgegen anderslautender Behauptungen. Deine Berechnung mit Laplace ist sogar elegant, nur das in Zeile 3 hinter dem zweiten Gleichheitszeichen hättest du dir sparen können (gleich 3. binomische anwenden). Wer mir's nicht glaubt, glaubt's vielleicht dem Wolfram: https://www.wolframalpha.com/input?i=eigenvalues+%7B%7B2%2C0%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C0%2Ci%7D%2C%7B0%2C0%2C-2%2C0%7D%2C%7B0%2C-i%2C0%2C0%7D%7D.
Korrekt ist allerdings, dass du für die Eigenvektoren v die Gleichungssysteme
( H - lambda * I ) * v = 0
lösen musst.
Du bestimmst den Kern von A-lambda indem du
(A-lambda) v = 0 löst
In deinem.Fall kann man 2 ablesen ( e1 und e3) . Die 2 anderen Eigenwerte sind falsch richtig ist i und -1
Um es nochmal klar zu machen
1) Bestimme lambda sodas ker( A-lambda) nicht trivial- das ist genau dann der Fall wen det( A- lambda)=0
2) Bestimme diese nichttrivialen Kerne
Bem: v ist EV fürlambda gdw (A-lambda)v =0 und v ungleich 0
X^2-1=( y+i )* (x-i) binomischer Lehrsatz x^2-y^2= (x+y)× (x-y)
Für dein Problem
1) Der EV für 2 kann man leicht ABLESEN wegen der Form der Matrix- offensichtlich (1,0,0,0)
2) Lösen z.B
Zeilen vertauschen- dann ist die Matrix in Diagonalform
Bemerke: Zeilen vertauschen entspricht in Gleichungssprache die Reihenfolge der Gleichungen ändern .....
Wo liegt denn bei mir der Fehler dass ich 1, -1 und nicht i, -i als Eigenwerte rausbekomm? und mein Problem ist beim finden des Eigenvektors müsste ich ja jeweils den Eigenwert in die Matrix A-lambda einsetzen, dann eine Dreiecksmatrix konstruieren und dann das daraus entstandene Gleichungssystem lösen. (Den Ansatz dafür hab ich ja ganz unten hingeschrieben. Jedoch bekomme ich die Matrix für lambda = 2 nicht auf eine Dreiecksmatrix. Wie kann ich da vorgehn?