[Mathe] Doppeltes Ergebnis für f‘(x) = 0 setzen?
Guten Mittag,
ich habe ein paar Fragen zu dem Aufgabenteil b) und freue mich über eure hilfreichen Antworten sehr. :-)
- Um bei Aufgabenteil b) alle Punkte mit waagerechter Tangente zu erhalten, habe ich f‘(x) = 0 gesetzt. Nun habe ich jedoch einmal (x-1)^(2) und daraus erhalte ich x1/2 = 1, ist das richtig?
- Schreibt man in diesem Fall bei b), obwohl das Ergebnis ja nicht +-1 ist (da ja keine Wurzel gezogen wurde) wirklich auch x1/2 = 1 und nicht x1 = 1?
- Hat man in diesem Fall, dass man eine doppelte Nullstelle der 1. Ableitung als Ergebnis erhält, immer einen Sattelpunkt (wie hier bei b))?
- Muss ich bei dem Aufgabenteil a) auch folgendes schreiben: x1 = -1; x2/3/4 = 1? Denn dort handelt es sich ja einmal um eine einfache Nullstelle und einmal um eine dreifache Nullstelle. Natürlich würde ich das niemals so schreiben, aber das muss ich hier ja nun auch fragen, da meine Unsicherheit bei b) sich ja auch auf etwas Ähnliches bezieht.
[Aufgabenstellung]
[Aufgabenteil a)]
[Aufgabenteil b)]
[Geogebra: Schaubild der Funktion f (in blau) und Schaubild der Funktion f‘ (in grün)]
Ergänzung „Weisen Sie nach: f‘(x) = (x-1)^(2) * (4x+2).“:
Zeichnung von Kf (Aufgabe b)):
Da steht für die Ableitung: Weisen Sie nach..
Die darfst du nicht einfach als gegeben annehmen.
Das habe ich vergessen zu posten, ich habe soeben die Frage um eine Ergänzung ergänzt. Vielen lieben Dank für deinen Hinweis.
Prima! Schon übersichtlich durchgerechnet!
Die 8 Punkte kommen mir für die Aufgabe b) echt sehr viel vor, obwohl man doch so wenig machen muss… (Abitur Abschlussprüfung). Habe ich etwas vergessen? Habe meine Skizze ergänzt.
3 Antworten
1)
Um bei Aufgabenteil b) alle Punkte mit waagerechter Tangente zu erhalten, habe ich f‘(x) = 0 gesetzt.
Korrekt, so macht man das und in diesem Fall wendet man den Satz vom Nullprodukt an.
2)
Schreibt man in diesem Fall bei b), obwohl das Ergebnis ja nicht +-1 ist (da ja keine Wurzel gezogen wurde) wirklich auch x1/2 = 1 und nicht x1 = 1?
Im Prinzip ist das 1/2 überflüssig. Da würde x1 = 1 reichern und wenn du es ganz genau machen willst, schreibst du als Ergänzung dazu: doppelte Nullstelle.
3)
Hat man in diesem Fall, dass man eine doppelte Nullstelle der 1. Ableitung als Ergebnis erhält, immer einen Sattelpunkt (wie hier bei b))?
Im Prinzip ja, weil dann die zweite Ableitung eine einfache Nullstelle hat und die dritte gar keine, also ungleich 0 ist.
Wäre das eine dreifache Nullstelle, wie z.B. in der ersten Ableitung von
f(x) = (x+1)*(x-1)^4
dann wäre f' ' ' auch = 0 und damit kein Wendepunkt, sondern ein Tiefpunkt:
4)
Muss ich bei dem Aufgabenteil a) auch folgendes schreiben: x1 = -1; x2/3/4 = 1?
Bloß nicht. Du kannst höchstens "streberhaft" dazuschreiben: 3-fache Nullstelle
Um bei Aufgabenteil b) alle Punkte mit waagerechter Tangente zu erhalten, habe ich f‘(x) = 0 gesetzt. Nun habe ich jedoch einmal (x-1)^(2) und daraus erhalte ich x1/2 = 1, ist das richtig?
Ja, x = 1 ist eine doppelte Nullstelle.
Schreibt man in diesem Fall bei b), obwohl das Ergebnis ja nicht +-1 ist (da ja keine Wurzel gezogen wurde) wirklich auch x1/2 = 1 und nicht x1 = 1?
Ich glaube nicht, dass es falsch ist, allerdings ist es am Ende immernoch >eine< Nullstelle, weswegen ich x_1 = 1 schreiben würde.
Hat man in diesem Fall, dass man eine doppelte Nullstelle der 1. Ableitung als Ergebnis erhält, immer einen Sattelpunkt (wie hier bei b))?
Ja (bei ganzrationalen Funktionen), denn wenn die Ableitung einer ganzrationale Funktion f eine doppelte Nullstelle bei x_0 hat und sie ihren Linearfaktoren schreibt, wobei alle Linearfaktoren außer (x–x_0) zu r(x) zusammgenfasst seien, erhalt man
f'(x) = r(x) (x–x_0)²
f"(x) = r'(x) (x–x_0)² + 2 r(x) (x–x_0)
f"'(x) = r"(x) (x–x_0)² + 4 r'(x) (x–x_0) + 2 r(x)
Also folgt insbesondere wegen
f'(x_0) = f''(x_0) = 0,
dass bei x_0 die Tangente waagerecht ist und die notwendige Bedingung für ein Wendepunkt gegeben ist.
Und weil außerdem f"'(x_0) = 2 r(x_0) ≠ 0, ist auch das hinreichende Kriterium für ein Wendepunkt erfüllt, womit wir einen Wendepunkt mit Steigung null erhalten, also einen Sattelpunkt.
Muss ich bei dem Aufgabenteil a) auch folgendes schreiben: x1 = -1; x2/3/4 = 1? Denn dort handelt es sich ja einmal um eine einfache Nullstelle und einmal um eine dreifache Nullstelle. Natürlich würde ich das niemals so schreiben, aber das muss ich hier ja nun auch fragen, da meine Unsicherheit bei b) sich ja auch auf etwas Ähnliches bezieht.
Auch hier würde ich einfach x_1 = –1 und x_2 = 1 schreiben, da es im Endeffekt nur zwei Nullstellen sind. Die Vielfachheit sollst du nur dazu schreiben, muss aber nicht als Index bei x_(...) stehen. Es reicht wenn du einfach einen Satz schreibst: "x_i ist eine einfache/doppelte/... Nullstelle".
Gibt's denn dann auch den Stern? (Ich sehe, du verteilst keine Sterne).
Ich verteile eigentlich fast immer einen Stern. Diese Frage ist ungefähr 10 Stunden alt und erst nach ungefähr 24 Stunden bekommt der Fragesteller die Möglichkeit, einen Stern zu vergeben.
In deinem Profil sieht es anders aus (habe mir ein paar Fragen von dir angeschaut und niergends ein Sterm gesehen).
Naja... Zufall...
6 Fragen sind weniger als 24 Stunden alt und dort kann man koch keinen Stern vergeben und manche Antwortgeber erhalten noch einen Stern. Denn man kann jeder Person nur maximal 3 Sterne pro Woche vergeben. Also wartet z.B. „DieChemikerin“ gerade noch auf 3 Sterne z.B. von mir ;-) Bei ihr ist derzeit das Limit erreicht bzw. ab heute müsste es wieder geben ;-). Liebe Grüße
Stern wurde nun für diese Frage vergeben, da sie nun älter als 24 Stunden ist und die Vergabe nun möglich ist. Liebe Grüße.
Schau dir sehr gerne meine neueste Frage zu Mathe an, falls du gerade Zeit und Lust hast: https://www.gutefrage.net/frage/mathe-wahrscheinlichkeit-fuer-die-mannschaften-dfb-pokal
Viele Grüße
maennlich2002
Wenn du angibst "doppelte Nullstelle" erübrigt sich 1/2
Bei gradzahligen Nullstellen von f' ändert f' sein Vorzeichen nicht -> Sattelpunkt
Vielen lieben Dank 🙏🤩 Schau dir sehr gerne noch meine neueste Frage an: https://www.gutefrage.net/frage/mathe-hilfe-benoetigt-momentane-aenderungsrate-bestimmen