Funktion und Ableitungsfunktion?
Ich habe einen Grafen eine ableitungsfunktion gegeben dieser hat eine doppelte Nullstelle. Heißt das dass die ausgangsfunktion einen sattelpunkt hatte ?. In der Lösung steht dass es der Fall ist ,weil es ein vorzeichenwechsel hat aber das verstehe ich nicht was es heißt
2 Antworten
Ja, wenn eine Ableitungsfunktion eine doppelte Nullstelle hat, dann hat die ursprüngliche Funktion einen Sattelpunkt. Dies ist aufgrund des Vorzeichenwechsels bei einer Nullstelle der Ableitungsfunktion bedingt.
Eine Nullstelle der Ableitungsfunktion bedeutet, dass die Funktion in diesem Punkt einen kritischen Wert hat, bei dem sie ihre Steigung ändert. Eine doppelte Nullstelle der Ableitungsfunktion bedeutet, dass die Funktion an diesem Punkt einen besonders starken Vorzeichenwechsel hat, d.h. sie ändert ihre Steigung von positiv zu negativ oder umgekehrt. Dies weist darauf hin, dass die ursprüngliche Funktion in diesem Bereich einen Sattelpunkt hat, bei dem sie ihre Form ändert, von einer steigenden zu einer fallenden Funktion oder umgekehrt.
Wenn deine Ableitungsfunktion eine doppelte Nullstelle hat, bedeutet es, dass sich das Vorzeichen der Steigung deiner Ausgangsfunktion nicht geändert hat (in dieser Umgebung!). Die Folge ist, dass deine Ausgangsfunktion einen Sattelpunkt hat, aber OHNE VZW der Nullstelle der ersten Ableitung.