[Mathe] Hilfe benötigt: Momentane Änderungsrate bestimmen?
Guten Abend,
bei dieser Aufgabe fällt es mir noch schwer, die Aufgabenteile c) und d) zu lösen. Ich freue mich sehr über eure ausführliche Hilfe zu den beiden Aufgabenteilen c) und d).
Bearbeitete Aufgabenteile c) und d):
3 Antworten
a)
f(t) = 20 • 0,97^t
b)
f(t) < 5
20 • 0,97^t < 5
Du musst mit dem Taschenrechner (solve Befehl)
f(t) = 5
20 • 0,97^t = 5
ausrechen können, also t ≈ 45,513, und mit der Monotonie begründen, dass es damit es auch für alle größeren t gilt.
Die Antwort wäre also nach ca. 45,513 Stunden.
c)
Für die momentane Änderungsrate benötigen wir die Ableitung. Vielleicht weißt du noch, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion allgemein so aussieht:
(a^x)' = a^x • ln(a)
Bei unserer Aufgabe erhalten wir also
f'(t) = 20 • 0,97^t • ln(0,97).
Damit ist die Änderungsrate nach 4 Stunden
f(4) = 20 • 0,97^4 • ln(0,97) ≈ –0,593
mg / (l • h).
d)
f'(t) < –0,1
Das Minus, weil es um Abnhame geht.
Hier wieder wie bei b). Wir berechnen zuerst
f'(t) = –0,1
20 • 0,97^t • ln(0,97) = –0,1
t ≈ 59,324
Aufgrund der Monotonie gilt es auch für größere t. Antwort wäre, dass nach 59,324 Stunden die Änderungsrate kleiner –0,1 mg/(l•h) ist.
c) Was ist das Hauptziel?: momentane Änderungsrate. Ahhhh, also f´(t), ok.
Und das nach 4 Stunden, also t=4: f´(4)= ...
d) Was ist Hauptziel: Konzentration/ Stunde (also wieder was mit momentaner Änderungsrate). Hier ist gefragt wann diese unter 0,1sinkt. - die Aufgabenstellung ist ein bisschen unklar, ist mit 0,1 die mg/Liter gemeint, die unter 0,1 sinken soll oder die Konzentration/Stunde? Ich gehe mal von Zweiterem aus sonst hätte der Aufgabensteller die Konzentration/Stunde bestimmt nicht angesprochen. So musst du also f´(t) mit 0,1 gleichsetzen und schauen wo dieses liegt. Sagen wir da käme 1 und 5 raus. Da gefragt ist wo der Wert unter 0,1 liegt, musst du schauen wie es sich in der Nähe von x=1 und x=5 verhält. So setzt du für x dieses mal 2 ein und schaust: ist der Wert unter 0,1 heißt es, dass zwischen 1 und 5 der Wert unter 0,1 liegt. Ist der Höher, dann liegt der Wert nach 1 und 5 unter 0,1.
Zunächst hat man eben 20*0,97^x vorhanden. Anscheinend wisst ihr erst wie man e^... ableitet, also hat der Lehrer 0,97 eben als e^k definiert, dabei muss k eben einen bestimmten Wert einnehmen damit gilt 0,97=e^k .
Man nimmt den natürlichen Logarithmus (ln(0,97) = k; e hoch was (k) ist 0,97. und dieses entspricht k). Ab hier solltest du alles alleine können.
Sobald es ans Ableiten geht ist es immer der einfachere Weg, die Exponentialfunktion in eine e-Funktion umzuschreiben. ...oder man setzt von vornherein die e-Funktion an:
f(t) = 20 * e^λt
f(1) = 20 * e^λ = 20 * 0,97
e^λ = 0,97
λ = ln 0,97
f(t) = 20 * e^-0,0304592t
Das Problem bestand darin, die aufgestellte Funktion f(x) so umzuformen, dass man sie ableiten kann. Die Aufgabe an sich habe ich verstanden. Nun habe ich auch noch die Aufgabenteile c) und d) alleine lösen können, siehe Ergänzung der Frage.