K einer Funktionsschar bestimmen?

Moin,

ich habe folgende Funktionsschar gegeben:

Nun soll ich alle Werte für k bestimmen, für die die Funktion nur eine einzige Nullstelle besitzt.

mein erster Gedanke war, dass der Faktor vor der e^x-2 dann Null werden muss. Also habe ich den Faktor null gleich gesetzt und nach k aufgelöst. Damit habe ich für k=(25+x^2)/x erhalten. Allerdings weiß ich nicht wie ich jetzt einen konkreten Wert für k erhalte. Ich weiß nach zeichnen der Funktion im Taschenrechner und unzähligen versuchen, dass k=10 oder k=-10 sein muss. Ich habe allerdings keinen Weg gefunden mit dem ich das beweisen kann.

bitte helft mir, ich bin hier am verzweifeln.
Mit freundlichen Grüßen, Torty

Answer 1

[Halbrecht]

wenn auf die Klammer die pq-Formel an

.

dann steht unter der Wurzel

( k²/4 - 25 ) 

setze das gleich 0 und du hast alle k s bei denen unter der Wurzel Null entsteht 

So ist die EINZIGE NSt dann -(-k/2) 

.

Answer 2

[gauss58]

Nutze die pq-Formel für die Klammer und analysiere den Term unter der Wurzel. Ist dieser gleich Null, gibt es nur eine Lösung.

Answer 3

[evtldocha]

Satz vom Nullprodukt:

Die Funktion hat nur Nullstellen, wenn die Klammer vor der Exponentialfunktion Nullstellen hat.

Die Klammer hat nur eine Nullstelle, wenn die Diskriminante ( = Term unter der Wurzel in der pq-Formel) null ist. Daher: $p=-\frac{k}{2};\ q\ =\ 25;\ D=\left(\frac{k}{2}\right)^2-25$ $\frac{k^2}{4}​−25=0\ →\ k=\pm\sqrt{100}​=\pm10$