Nullstelle der Funktion bestimmen?
Guten Abend
Ich brauche Hilfe bei der Nullstellebestimmung dieser Funktion
sin(x)+x*cos(x)=0 im Intervall (0, pi)
Eine Nullstelle habe ich bereits gefunden : x1=0
Aber wie kann ich weitere Nullstelle herausfinden, aus Geogebra habe ich gesehen, dass bei 2,03 noch eine Nullstelle ist.
Ich danke für euer Hilfe voraus.
3 Antworten
Im Intervall (0 ; π) gibt es nur eine Nullstelle (0 liegt außerhalb). Um diese zu bestimmen, ist ein Näherungsverfahren erforderlich, da man die Gleichung sin(x) + x * cos(x) = 0 nicht nach x umstellen kann.
Das Newtonverfahren x_n+1 = x_n - (f(x_n) / f'(x_n)) liefert mit dem Startwert x_n = 2 in erster Näherung für die Nullstelle den Wert x = 2,029....
Der Startwert sollte in der Nähe der Nullstelle liegen. Die Funktionsgleichung lässt sich leicht umformen zu f(x) =tan(x) + x. Folglich muss der Tangenswert negativ sein, also x größer als π / 2 und x muss kleiner als π sein. So nähert man sich schnell der 2 an. Es funktioniert aber auch mit Startwert 1,8 oder 2,3.
Für deinen Seelenfrieden solltest du es nicht algebraisch lösen.
Ich musste dafür die Beziehung vom Arcustangens zu die natürlichen Logarithmus-Funktionen nutzen, dann noch viel substituieren (z.B. u := e^{xi}), ... nur um am Ende zu sehen, dass man das nur mit speziellen Funktionen (bei mir war es am Ende eine Variante der Wright Lambertschen W-Funktion, was auch wenn es so klingt keine Lambertsche W-Funktion ist, etwas wovon ich nur weiß, da ich mich mal auf Wikipedia verklickt habe) lösen kann. Das ist es nicht Wert... Nimm ein numerisches Verfahren, wie das Newtonverfahren:
PS.
Ich bin jedes mal verwundert, dass Wolfram|Alpha irgendwelche hinterletzten Funktionen kennt, die bestimmt irgendwo nützlich sind, halt nur nicht für mich, aber bei sowas versagt Wolfram|Alpha?!
Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen, kannst Du zunächst versuchen, die Gleichung sin(x) + x * cos(x) = 0 aufzulösen. Dies kannst Du tun, indem Du die beiden Seiten der Gleichung durch cos(x) teilst, um x auszuklammern.
Nachdem Du x ausgeklammert hast, kannst Du die Gleichung weiter vereinfachen, indem Du beide Seiten der Gleichung mit dem Quotientenregel durch sin(x) teilst. Auf diese Weise erhältst Du eine neue Gleichung in der Form f(x) = 0, die nur noch x enthält.
Um die Nullstellen dieser neuen Gleichung zu bestimmen, kannst Du nun versuchen, die Funktion f(x) grafisch darzustellen und die Stellen zu finden, an denen die Funktion den Wert 0 annimmt. Du kannst zum Beispiel Geogebra verwenden, um die Funktion zu plotten und die Nullstellen zu identifizieren. Alternativ kannst Du auch versuchen, die Gleichung f(x) = 0 direkt aufzulösen, indem Du die quadratische Formel oder andere algebraische Techniken anwendest.
Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen, kannst Du zunächst versuchen, die Gleichung sin(x) + x * cos(x) = 0 aufzulösen. Dies kannst Du tun, indem Du die beiden Seiten der Gleichung durch cos(x) teilst, um x auszuklammern.
Ausklammern?
Was willst du da ausklammern? Du könntest dann maximal sin / cos zu tan zusammenfassen, doch auszuklammern ist da nicht wirklich was...
Nachdem Du x ausgeklammert hast, kannst Du die Gleichung weiter vereinfachen, indem Du beide Seiten der Gleichung mit dem Quotientenregel durch sin(x) teilst. Auf diese Weise erhältst Du eine neue Gleichung in der Form f(x) = 0, die nur noch x enthält.
Die enthält nicht nur ein x. Du machst es mit den Dividieren doch nur noch schlimmer, außer du willst den Umweg mit sec oder csc nehmen (was es nicht ganz so schlimm macht aber auch nicht leichter)...
Versteh ich da was falsch, oder macht das einfach keinen Sinn?
Danke für deine Antwort, aber woher weißt du welche Startwert du da nimmst, also du hast ja mit x0=2 gestartet