Nullstelle berechnen?
Hei ihr,
Im Matheabitur 2023 kam folgende Aufgabenstellung dran.
Berechnen Sie die Nullstelle im Intervall [-2;0] der Funktion f(x)=e^x+x auf zwei Nachkommastellen.
Ich bin beinahe verzweifelt und diese Frage bereitet mir heute noch Albträume.
Kann mit jemand Helfen?
6 Antworten
Exakt wirst du die Lösung nicht bestimmen können, du kannst die nur annähern.
Wenn ihr das dürft, kannst die Nullstellen von dem Taschenrechnern bestimmen lassen, oder mit dem Graphischen Taschenrechner den Graphen anzeigen und daraus die Nullstelle ablesen.
Wenn du die selbst bestimmen sollst, bietet sich die sogenannte Intervallschachtelung an.
Zunächst sollte auffallen, dass f(-2) negativ ist, und f(0) positiv ist. Da die Funktion Stetig ist (also keine Sprünge hat) muss dazwischen eine Nullstelle sein.
Bestimme dann den Mittelpunkt des Intervalls (hier -1) und dessen Funktionswert (hier -0.63).
Du zerteilst das Intervall nun in der Mitte, und nimmst dann das Intervall, wo die Funktionswerte an den Rändern unterschiedliche Vorzeichen haben (hier also das Intervall [-1,0]).
Mache nun das selbe mit dem neuen Intervall, und wiederhole das ganze, bis die zweite nachkommastelle der beiden Grenzen identisch sind. Das sollte in unter 10 Schritten passieren.
Beispiel:
Wir wollen die Nullstelle von f(x) = x^2-2 auf dem Intervall [0, 2] mit einer Nachkommastelle Genauigkeit bestimmen.
Es gilt hier: f(0)<0 und f(2)>0
1. Durchgang:
f(1) = -1 < 0, wir wählen also das Intervall [1, 2]
2. Durchgang:
f(1.5) = 0.25 > 0, also [1, 1.5]
3. Durchgang:
f(1.25) = -0.4375 < 0, also [1.25, 1.5]
4:
f(1.375) ≈ -0.1 < 0, also [1.375, 1.5]
5:
f(1.4375) ≈ 0.07 >0, also [1.375, 1.4375]
6:
f(1.40625) ≈ -0.02, also [1.40625, 1.4374]
Die Erste Nachkommstelle ist bei beiden Grenzen identisch, somit lautet die Nullstellen bis auf die erste Nachkommastelle 1.4.
(Kontrolle, die Nullstelle ist sqrt(2) ≈ 1.414)
Im Intervall [0;1] hat die Funktion keine Nullstellen.
Fangen wir mit x=0 an:
Jeder wert für x>0 ergibt e^x>1. Dazu das x addiert, also eine Addition zweier Zahlen, die beide größer als 0 sind.
Im Intervall [-1;0] gibt es allerdings eine Nullstelle.
Und hier weiß ich auch nicht weiter.
Diese Gleichung kannst Du nicht mit trivialen Mitteln nach x auflösen. Es geht entweder graphisch oder über ein Näherungsverfahren oder über die Lambertsche W-Funktion, die allerdings auch nur auf einem Näherungsverfahren basiert und
als Lösung x=-0,56714329 liefert. Natürlich ist auch dieser Wert nur eine Näherung.
Man kann sich den Graph mit dem Taschenrechner zeichnen lassen und dann die Nullstelle berechnen mit den entsprechenden Funktionen.
Man kann auch eine Wertetabelle erstellen und den Bereich immer weiter eingrenzen und sich so der Nullstelle annähern.
In den meisten Fällen hilft es, nach einem x umzustellen und das andere iterativ zu berechnen. (Fixpunktiteration)
Man braucht einen Startwert. Da bietet sich -1 an (Mitte des Intervalls).
Erster Versuch: x = ln(-x)
Das geht daneben.
Zweiter Versuch: x = -e^x
Am Taschenrechner muss man nur abwechselnd e^x und +/- drücken. Dann kommt irgendwann 0,567 raus und bleibt stabil. Das ist dann die Lösung.
Einen Startwert braucht man schon, z.B. x = -1.
Dann wird e^(-1) berechnet.
-e^(-1) ist dann das neue x.
Man kann nur noch beten, dass das Verfahren konvergiert 😉.
Da gibt es was, aber das ist nicht berechenbar, ohne eine eigens dafür definierte Funktion zu nutzen.
Ist wie x^x=10, da geht mit dem Taschenrechner nichts, außer einen Modus zu finden, bei dem man ganz oft "=" drücken muss.
Diese Funktion ist die "Lambertsche Funktion", aber darüber weiß ich zu wenig.
Wenn Dich das interessiert, konnte ich Dir wenigstens den passenden Suchbegriff geben. Oder es findet sich hier noch ein Freak, der das kann.
Man kann auch einfach probieren und sich den Graphen dazu im Intervall aufzeichnen, ggf. interpolieren. Brauchst ja nur 2 Nachkommastellen.
Ich habe speziell für den Taschenrechner ein Verfahren gefunden.
Drücke "1" dann "e^x" und "+/-" und wiederhole die letzten beiden Tasten, bis der Wert stabil bleibt. Das ist dann die exakte Lösung.
Nachtrag. Ich habe die Zahl gefunden, mal -1 nennt sie sich die Omega-Konstante.
Ω= ln(1/Ω) = - ln(Ω)
Ω = 0.56714329040978387299996866221035554975\
3815787186512508135131079223045793086684\
566693219446961752294557638...
(Sequenz A030178 im OEIS )
nur abwechselnd e^x und +/- drücken. und kein Startwert ? was passiert da überhaupt ?