Beweise: Eine beliebige verschobene Exponentialfunktion kann höchstens nur eine Nullstelle?
Kann mir jemand vielleicht damit helfen? Ich finde dazu nichts
3 Antworten
Das stimmt nur bei R -> R aka in der Schulmathematik, also kannst du es auch nur da beweisen.
Der einfachste Weg das zu beweisen wäre es "die allgemeine EXP-Funktion" gleich 0 zu setzen und die dann nach x lösen. Es gibt dann nur maximal eine Lösung, da alle Operatoren in der Lösung ein-eindeutig sind (also nur ein Ergebnis haben können) und der ln für einige Argumente definiert war:
f(x) = a * b^{c * x} + d | gleich 0 setzen
0 = a * b^{c * x} + d | -d
-d = a * b^{c * x} | :a
-d / a = b^{c * x} | log_{b}()
log_{b}(-d / a) = c * x | :c
x = log_{b}(-d / a) / c
log_{b}(-d / a) ist für nur positive Argumente definiert, was nur der Fall sein kann wenn d oder b negativ ist. Dazu hat log_{b}(-d / a) als Funktion via Definition immer nur ein Ergebnis.
log_{b}(-d / a) ist nicht definiert für a = 0 (da Division durch 0 nicht definiert ist), d = 0 (da der Logarithmus nicht aus 0 ziehbar ist), b = 1 und b = 0 (da sonst keine Exponentialfunktion vorliegt) und für viele b < 0. Es gibt also manchmal auch keine Lösung:
Bei der Division kommt auch immer nur ein Ergebnis raus.
Zusammengefasst:
Es kann eine und keine Lösung geben, was zusammengefasst maximal eine Lösung ist.
Angenommen, wir haben eine verschobene Exponentialfunktion der Form f(x) = a * e^(kx + d), wobei a, k und d Konstanten sind.
Um zu beweisen, dass diese Funktion höchstens nur eine Nullstelle hat, nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Nullstellen gibt, die wir mit x1 und x2 bezeichnen können. Das bedeutet, dass f(x1) = 0 und f(x2) = 0.
Dann haben wir:
a * e^(kx1 + d) = 0 und a * e^(kx2 + d) = 0
Da a nicht gleich Null ist, können wir die Gleichungen durch a teilen:
e^(kx1 + d) = 0 und e^(kx2 + d) = 0
Aber dies ist ein Widerspruch, denn es gibt keine reelle Zahl x, für die e^x gleich Null ist. Daher kann keine verschobene Exponentialfunktion zwei verschiedene Nullstellen haben, und somit kann eine solche Funktion höchstens nur eine Nullstelle haben
Möglicherweise war eine Verschiebung in y-Richtung gedacht, also f(x) = a * e^(kx + d) + c
Ableitung bilden. Damit zeigen, dass die Funktion streng monoton ist.