Komplexe Ungleichung lösen?
Wie löse ich eine solche komplexe Betragsungleichung?
Dass die Polstelle aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen wird, kann ich noch nachvollziehen. Aber wie kommt man auf die Werte, die die Ungleichung erfüllen?
2 Antworten
Ich würde zunächst einmal mit dem Nenner multiplizieren, um den Bruch wegzubekommen. [Dabei ändert sich die Richtung der Ungleichung nicht, da die Zahl, mit der multipliziert wird, in jedem Fall positiv ist.]
Dann würde ich z = x + iy mit reellen x, y ansetzen und die Ungleichung entsprechend als rein reelle Ungleichung darstellen.
Ein möglicher Lösungsweg könnte beispielsweise so aussehen...
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Oder so, wenn man bei (y + 3)² ≤ (y + 5)² ausmultipliziert, statt die Quadratwurzel zu ziehen...
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Oder anschaulich...
|z - 1 + 3i| = |z - (1 - 3i)| beschreibt den Abstand von z zu 1 - 3i.
|z - 1 + 5i| = |z - (1 - 5i)| beschreibt den Abstand von z zu 1 - 5i.
Wann ist nun der Abstand |z - 1 + 3i| kleiner oder gleich dem Abstand |z - 1 + 5i|?
Betrachte dazu die Mittelsenkrechte zu 1 - 3i und 1 - 5i welche in der komplexen Zahlenebene offensichtlich horizontal durch 1 - 4i verläuft, also entlang dem Niveau mit Imaginärteil -4 verläuft. Die komplexen Zahlen, die auf der Seite der Mittelsenkrechten liegen, auf der auch 1 - 3i liegt, liegen näher an 1 - 3i als an 1 - 5 i. Dementsprechend sollte nun klar sein, dass die Lösungen genau diejenigen Zahlen sind, die Imaginärteil größer oder gleich 4 haben.
====== Ergänzung zur anschaulichen Darstellung ======
Alle Punkte im roten Bereich sind näher bei 1 - 3i als bei 1 - 5i (oder gleich weit entfernt).
Hier nochmal interaktiv mit einer veränderbaren komplexen Zahl z und den entsprechenden Abständen:
Ich habe meine Antwort nochmal ergänzt. Du meinst den Schritt von...
(x - 1)² + (y + 3)² ≤ (x - 1)² + (y + 5)²
... zu ...
|y + 3| ≤ |y + 5|
... oder?
Da ist bei meiner Ergänzung noch (y + 3)² ≤ (y + 5)² als Zwischenschritt hinzugekommen, den ich vergessen hatte aufzuschreiben. Damit sollte das vielleicht auch schon etwas klarer werden.
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(x - 1)² + (y + 3)² ≤ (x - 1)² + (y + 5)²
Subtrahiere (x - 1)².
(y + 3)² ≤ (y + 5)²
Ziehe die Quadratwurzel.
|y + 3| ≤ |y + 5|
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Bedenke: Für jede reelle Zahl a gilt...
√(a²) = |a|
Bedenke: Wenn man eine streng monoton wachsende Funktion auf beide Seiten einer Ungleichung anwendet, so erhält man eine Ungleichung, die äquivalent zur vorigen Ungleichung ist. Und die Quadratwurzel aus nicht-negativen reellen Zahlen beschreibt eine streng monoton wachsende Funktion. Dementsprechend gilt für alle nicht-negativen reellen Zahlen r, s...
r ≤ s ⇔ √(r) ≤ √(s)
Damit gilt dann für alle reellen Zahlen a, b...
a² ≤ b² ⇔ √(a²) ≤ √(b²) ⇔ |a| ≤ |b|
Bzw. könnte man das auch so sehen, dass für alle nicht-negativen reellen Zahlen r, s...
r ≤ s ⇔ r² ≤ s²
... gilt. Und da für alle reellen Zahlen a gilt, dass |a| eine nicht-negative reelle Zahl mit |a|² = a² ist, erhält man dann für alle reellen Zahlen a, b...
|a| ≤ |b| ⇔ |a|² ≤ |b|² ⇔ a² ≤ b²
Also insbesondere kurz auch...
a² ≤ b² ⇔ |a| ≤ |b|
Bezüglich der anschaulichen Erklärung: Ich hab da beim Nachvollziehen wohl noch einen Denkfehler. Ich stelle mir vor, dass z eine beliebige Kombination aus x+iy sei, und dafür muss gelten, dass der Abstand für diese Kombination zum Punkt der linken Gleichungsseite stets kleiner oder gleich der rechten Gleichungsseite sein muss. Also muss der Punkt meiner Logik nach ja immer näher (o. gleich) an dem Punkt (1-3i) sein als am unteren Punkt (1-5i). Ich steh wohl auf dem Schlauch... :D
Ahhhhh, Mist! Ich hab mich vertan... Ich bin von y<=-4 ausgegangen, dabei hieß es y>=-4. Mein Fehler!
Also muss der Punkt meiner Logik nach ja immer näher (o. gleich) an dem Punkt (1-3i) sein als am unteren Punkt (1-5i). Ich steh wohl auf dem Schlauch... :D
Das ist richtig. Ich habe am Ende meiner Antwort nun noch eine entsprechende Zeichnung ergänzt. Dann wird es vielleicht klarer.
Aus z != (1 - 5i) folgt:
| z - 1 + 3i | <= | z - 1 + 5i |
z = a + bi
| a + bi - 1 + 3i | <= | a + bi - 1 + 5i |
Real- und Imaginärteile zusammenfassen:
| (a - 1) + i(b+3) | <= | (a - 1) + i(b + 5) |
Den quadratischen Betrag berechnen:
(a - 1)² + (b + 3)² <= (a - 1)² + (b + 5)²
(b + 3)² <= (b + 5)²
b² + 6b + 9 <= b² + 10b + 25
6b + 9 <= 10b + 25
-16 <= 4b
b = IM(z) >= -4
Danke für die ausführliche Erklärung. Ich kann dir allerdings beim quadratischen Betrag nicht folgen, müsste dazu nicht noch die Wurzel gezogen werden? Oder hast du dann beidseitig direkt wieder quadriert und den Rechenschritt gedanklich gemacht?
Aus sqrt(a²+b²) <= sqrt(c²+d²) folgt (a²+b²) <= (c²+d²).Vorzeichen spielen wegen der Quadrierung keine Rolle, außerdem sind Re(z) und Im(z) keine komplexe, sondern reelle Zahlen.
Danke für die ausführliche Erklärung. Ich versteh allerdings nicht ganz, wie du von Zeile 6 auf Zeile 7 plötzlich wieder Beträge verwendet hast. Kannst du mir das erklären? :)