Betragsungleichung mit Bruch?
Habe Probleme mit folgender Ungleichung. Ich Weiss, dass man sowas mit fallunterscheidung oder mit dem quadrieren lösen kann, aber Weiss nicht wie ich da vorgehen soll.
Vielen Dank für jede Hilfe.
1 Antwort
Bei Betragsgleichungen/-ungleichungen musst du den Betrag auflösen indem du eine Fallunterscheidung vornimmst. Es gilt ja:
|a| = a wenn a>=0 und |a|=-a wenn a<0
Du musst dir also alle Beträge anschauen und herausfinden, wann etwas größer oder kleiner null werden kann. Das sind dann deine verschiedenen Fälle. Hast du mehrere Beträge, dann musst du das für alle schauen und entsprechend verknüpfen.
Im konkreten Fall hast du im Betrag einen Bruch stehen. Der Bruch wird negativ, wenn Zähler und Nenner ein unterschiedliches Vorzeichen haben. Deine Fälle sind daher:
- Fall: x+1 = 0
- Fall: x-1 < 0 & x+1 > 0
- Fall: x-1 > 0 & x+1 < 0
- Fall: alles andere
Im ersten Fall gibt es keine Lösung, weil der Nenner 0 ist. Im zweiten und dritten Fall ist der Bruch ja negativ und beim Auflösen des Betrags kommt ein Minus dazu. Beim vierten Fall ist der Bruch positiv und es kommt kein Minus dazu.
Ist der Betrag aufgelöst, kannst du die Ungleichung ganz normal lösen.
Wo kommst du denn nicht weiter? Die vier Fälle habe ich dir ja schon aufgeschrieben. Du musst die Bedingungen jeweils noch nach x umstellen.
Fälle- Fall: x+1 = 0 d.h. x = -1
- Fall: x-1 < 0 & x+1 > 0 d.h. x < 1 & x > -1 also -1 < x < 1
- Fall: x-1 > 0 & x+1 < 0 d.h. x > 1 & x < -1 das geht offensichtlich nicht, daher entfällt der Fall
- Fall: alles andere, also x < -1 oder x >= 1
Beim ersten Fall gibt es keine Lösung.
Beim zweiten Fall kommt ein Minus beim Auflösen des Betrags dazu. Die Ungleichung lautet damit: -(x-1)/(x+1) <= 3/2
Der dritte Fall entfällt, weil die Bedingung nicht erfüllbar ist.
Beim vierten Fall kommt kein Minus beim Auflösen des Betrags dazu. Die Ungleichung lautet damit: (x-1)/(x+1) <= 3/2
LösungDas Lösen der Ungleichung ist jetzt ganz normal. Die Vorgehensweise ist wie bei Gleichungen, mit der Besonderheit, dass bei Multiplikation mit -1 das Relationszeichen umgedreht wird. (also wenn du mit etwas negativen multiplizierst oder durch etwas negatives dividierst.)
Wenn du bspw. im 4. Fall den Bruch auflösen willst, musst du ja mit dem Nenner multiplizieren. Der Nenner x+1 kann aber negativ sein, nämlich genau dann, wenn x < -1 ist. Somit teilt der der 4. Fall noch in zwei Unterfälle auf:
- Fall 4.1: x < -1 dann lautet die neue Ungleichung: (x-1) >= 3/2 * (x+1)
- Fall 4.2: x >= 1 dann bleibt das Relationszeichen: (x-1) <= 3/2 * (x+1)
Kann bei dem 2ten Fall das x negativ sein?
Der zweite Fall ist ja: -1 < x < 1
Daher kann das x negativ sein. Beim auflösen des Bruchs spielt das aber keine Rolle, weil man ja mit (x+1) multipliziert und das für den Fall immer positiv ist. Daher ändert sich da auch nicht das Relationszeichen.
Danke für die Antwort, kannst du mir vlt die Aufgabe vorrechenen?