Ungleichung Bruch-betrag?
Guten tag, ich hätte eine Frage bezüglich dieser Ungleichung im Anhang. Und zwar wie viele Fall Unterscheidungen müssen wir hier machen da wir ein Bruch haben und einen Betrag. Soweit ich weiß muss mann, zunächst folgende fälle machen.
Betrag
Fall1: 2x+1≥0
Fall2: 2x+1<0
Also einmal + betrag und einmal -Betrag
Nun ist meine frage wie sieht mit dem Bruch aus da wir es ja auf die andere Seite multiplizieren müssen und nicht wissen ob (2x+1) das X positiv oder negativ ist muss man einmal den Fall betrachten das x>0 ist und man macht kein Vorzeichen Wechsel und das x<0 ist und einmal mit Vorzeichenwechsel? Also Zusammengefasst müssen wir 2 Fälle unterscheiden die von betrag nur oder müssen wir auch die fälle von Bruch mit den Vorzeichenwechsel betrachten, da wir nicht wissen ob x positiv oder negativ ist?
2 Antworten
Du betrachtest nicht x>0 bzw. <0, sondern 2x+1≥0 bzw. <0, indem Du den Betrag entsprechend auflöst:
1. Fall: 2x+1≥0, also x≥-1/2; in diesem Fall fallen die Betragsstriche einfach weg, ergibt:
4/(1-(2x+1))≤7/2
-2/x≤7/2 |*2/7
-4/(7x)≤1 |*x
weitere Fallunterscheidung (x könnte ja negativ oder positiv sein):
1. -1/2≤x<0: => -4/7≥x => L={ }
2. x>0: => -4/7≤x => L=]0;∞[
2. Fall: 2x+1<0, also x<-1/2, d. h. beim Weglassen der Betragsstriche muss ein Minus vor den Term:
4/(1-(-(2x+1)))≤7/2
4/(1+2x+1)≤7/2
2/(1+x)≤7/2 |*2/7
4/(7*(1+x))≤1 |*(1+x)
wieder Fallunterscheidung (ist x<-1, wird mit einem negativen Wert multipliziert):
1. -1<x<-1/2 => 4/7≤1+x <=> -3/7≤x => L={ }
2. x<-1 => 4/7≥1+x <=> -3/7≥x => L=]-∞;-1[
D. h. die gesamte Lösungsmenge ist x<-1 und x>0, also L=R\[-1;0]
hört sich vernünftig an... |2x+1|==1 ist auch noch son ekliger Fall... also ist x=0 und x=-1 ausgeschlossen...
und das mit dem Betrag läuft wohl darauf hinaus: x<-0,5
-0,5<=x<0 ist ein Bereich, wo der Nenner positiv ist...
-1<x<-0,5 ist ein Bereich, wo der Nenner positiv ist...
für x<-1 und für x>0 ist der Nenner negativ...
oder?
Wolfram Alpha sagt, dass nur bei negativem Nenner der Bruch <=3,5 sein kann... https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+for+x%3A+4%2F%281-%7C2x%2B1%7C%29%3C%3D7%2F2
