Betragsungleichung lösen?
|4x − 8| < |2x + 2|
Wie löst man diese Betragsungleichung bzw. welche fälle werden beachtet?
Ich bitte um Hilfe und bedanke mich jetzt schon!
2 Antworten
Für die Werte in den Betragszeichen die Nulllstellen berechnen und den Definitionsbereich entsprechend zerlegen. Dann kannst Du in den Teilintervallen die Beträke auflösen.
Hallo,
überlege, ab welchem x die Terme in den Betragsklammern negativ werden und mache dementsprechend Fallunterscheidungen.
Ist der Ausdruck in der Betragsklammer größer oder gleich Null, kann die Klammer ersatzlos gestrichen bzw. in eine normale Klammer verwandelt werden.
Wird er negativ, mußt Du das Vorzeichen vor der Klammer umdrehen, plus wird zu minus, minus zu plus. Danach kann der Betrag durch eine normale Klammer ersetzt werden.
Hier gibt es die Fälle x>=2; -1<=x<-2; x<-1.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Fälle lauten: x>=2, 4x-8<2x+2; x<5
-1<=x<2; 8-4x<2x+2; x>1
x<-1; 8-4x<-2x-2; x>5.
Im letztenb Fall scheidet x>5 als Lösung aus, weil der betrachtete Bereich nur für x<-1 gilt.
Im zweiten Fall liegt die Lösungsmenge bei 1<x<2, im ersten bei x<5, was zur Gesamtlösungsmenge von 1<x<5 führt.
Die 1 und die 5 sind ausgeschlossen, weil in diesen Fällen beide Beträge gleich wären, der linke muß aber kleiner sein als der rechte.
Bei der Fallunterscheidung geht es in den Klammern immer um die Fälle Betrag größer oder gleich Null, also keine Änderung; und Betrag kleiner Null, also Vorzeichenwechsel bei Klammerauflösung.
(-∞,1) u (5,∞)
Das Ergebnis habe ich jetzt unter Intervallnotation so angeben wäre das so richtig bzw. ist das Ergebnis korrekt?
Ist falsch. Die Lösungsmenge liegt zwischen 1 und 5 für x, wobei 1 und 5 nicht mehr dazugehören. Nur in diesem Bereich ist |4x-8| kleiner als |2x+2|.
Die Lösung wäre doch L_ges.= (1;5), wobei 1 und 5 nicht mehr dazu gehören, deswegen runde Klammern.?
Habe jetzt folgende Fälle und Lösungen:
1. Fall: 4x-8<2x+2
x<5
2.Fall: 4x+8<-2x-2
x<-10/6
3.Fall: 4x-8<-2x-2
x<1
4.Fall: -4x+8<2x+2
x<1
Liege ich so Richtig. Was ich gar nicht weiß ist wann soll ich x< oder x> nehmen?