Ist alles korrekt - unendliche Summen?

Es geht mir speziell um den ersten Teil von b). Ich bin folgendermaßen an die Sache herangegangen:

$\frac{1}{m^2-n^2}=\frac{1}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)}=\left(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}\right)\cdot\frac{1}{2n}$ $\Rightarrow\ \sum_{m=1}^{\infty}a_{m,n}=\frac{1}{2n}\left(\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}\right)\right)=\frac{1}{2n}\left(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m-n}-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m+n}\right)$ $\ \text{Betrachte}:\ \sum_{m=1}^M\frac{1}{m-n}-\sum_{m=1}^M\frac{1}{m+n}$ $=\frac{1}{1-n}+...+\frac{1}{M-n}-\frac{1}{1+n}-...-\frac{1}{M+n}$

Wenn nun M groß genug ist, dann gilt definitiv:

$=\frac{1}{1-n}+...+\frac{1}{1+n}+...+\frac{1}{M-n}-\frac{1}{1+n}-...-\frac{1}{M-n}-...-\frac{1}{M+n}$ $=\frac{1}{1-n}+...+\frac{1}{n}+-\frac{1}{M-n+1}-...-\frac{1}{M+n}$ Wobei das nicht ganz richtig ist. Denn betrachtet man den Fall m=n, so fällt der Term 1/0 weg. Genauso aber auch der Term -1/(2n). Deshalb müssen wir 1/2n hinzufügen.
$=\frac{1}{1-n}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{M-n+1}-...-\frac{1}{M+n}$ Wobei nun eine nur von n abhängige Zahl von Summanden abgezogen wird. Daher können wir hier den Limes bilden.

$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m-n}-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m+n}\ =_{M\rightarrow\infty}^{\ \lim}\left(\frac{1}{1-n}+...\right)$ $=\frac{1}{1-n}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}=0+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}=\frac{3}{2n}$ $s_n=\frac{1}{2n}\cdot\frac{3}{2n}=\frac{3}{4n^2}\ q.e.d$

Answer 1

[ChrisGE1267]

Die Lösung scheint mir generell richtig zu sein - Du musst aber mit Deiner Schreibweise aufpassen, da Du die Reihen in Zeile 3 Deines Beweises nicht einfach auseinanderziehen kannst; die einzelnen Reihen hier sind divergent. Du musst endliche Reihen betrachten und dann zum Grenzwert übergehen…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie