Integration von e^x?

Sehe ich das richtig, dass die Aufleitung von

e^-x --> [-e^-x]
-e^-x --> [e^-x]

sich dann beliebig hin und her tauscht? :D

Answer 1

[nobytree2]

Ich würde es wegen der Stammfunktion-Konstanten eher über die Ableitung definieren:

$\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}$ $\left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}$ $\left(e^{-x}\right)''=e^{-x}$ $\left(-e^{-x}\right)''=-e^{-x}$

Beweis für das oberste:

$\left(e^{-x}\right)'=\left(-x\right)'\cdot\left(e^z\right)'=-1\cdot e^{-z}=-e^{-z}=-e^{-x}\ \left(innere\ \&\ äußere\ Ableitung\right)$ $\left(-e^{-x}\right)'=-\left(e^{-x}\right)'\ und\ aus\ erstens\ fo\lg t\ unmittelbar\ -\left(e^{-x}\right)=e^{-x}$ $\left(e^{-x}\right)''=\left(-e^{-x}\right)'=e^{-x},\ fo\lg t\ aus\ erstens\ und\ zweitens$ $\left(-e^{-x}\right)''=-\left(e^{-x}\right)''\ =\ -e^{-x},\ fo\lg t\ aus\ drittens$

Answer 2

[petronex]

Wie du richtig festgestellt hast gilt: $\int e^{-x}dx=-e^{-x}\ +\ c$ bzw. $\left(-e^{-x}+c\right)'=e^{-x}$

und $\int-e^{-x}dx=e^{-x}\ +c$ bzw. $\left(e^{-x}+c\right)'=-e^{-x}$

Wichtig: Es gibt nicht "die" Stammfunktion (bzw. Aufleitung) von einer Funktion. Es gibt unendlich viele Stammfunktion, da man eine beliebige Konstante c addieren kann, die beim Ableiten wieder wegfällt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik

Comments

[petronex]

Nachtrag: nicht jede (Riemann) integrierbare Funktion hat eine Stammfunktion.
In der Schule beschäftigt man sich aber nur mit integrierbaren Funktionen, die auch Stammfunktionen besitzen.

[J0T4T4]

@petronex

Hast du mal ein Beispiel einer Riemann-integrierbaren Funktion ohne Stammfunktion für mich?

[petronex]

@J0T4T4

Na klar: f:[-1,1]-> R, f(x)=1 für x größergleich 0 und f(x)=0 für x kleiner 0. Eine Stammfunktion wäre, falls sie existiert (was sie nicht tut) in 0 nicht differenzierbar (das kann man beweisen). Die Differenzierbarkeit ist aber eine Eigenschaft der Stammfunktion, da ja gelten soll F'(x)=f(x). Folglich gibt es keine Stammfunktion.

Answer 3

[Halbrecht]

das Integral von e^(ax) ist gleich 

1/a * e^(ax) 

Noch mal das Ganze 

1/a² * e^(ax)

und nur mit a = -1 funktioniert das hin und her tauschen 

bei a = + 1 bleibt es so wie es ist 

.

.

Auch interessante

Die Ableitung von (x+1)*e^x ist 

(x+2)*e^x .

Bei jeder weiteren wird weiter gezählt +3 +4 usw 

.

Mehrfaches Integrieren geht also rückwärts und über +0 sogar mit -1 -2 usw weiter

Comments

[petronex]

Kann es sein, dass du am Anfang deiner Antwort "eine Stammfunktion" statt "das Integral" schreiben wolltest?

[Halbrecht]

@petronex

nein , es ist Schulkram , da ist es mir vor allem wichtig , den Begriff Aufleitung zu korrigieren.

[petronex]

@Halbrecht

Vlt sehe ich das zu kritisch, aber gerade als Community-Experte solltest man - meiner Meinung nach - mathematisch (vlt auch "schulmathematisch") korrekte Antworten geben. Dazu gehört auch falsche Aussagen nicht zu veröffentlichen.

[Halbrecht]

@petronex

Ja zu kritisch . Man schreibt hier nicht für die oberen 10Schlauen ( oder selten )

[petronex]

@Halbrecht

Ok, vermutlich hast du recht :)