Folgender Tipp sollte dich zur Lösung bringen.

Berechen den Abstand vom Parkplatz zu einem beliebigen Punkt der Fulda. Der Punkt am Flussufer der Fulda ist durch (x | 2 - 1/2 x^2) gegeben.

Nun wirst du feststellen, dass dieser Abstand eine Funktion ist, die von x abhängt.

Vielleicht hat diese ja ein globales Minimum...

Ein Beispiel wäre: über IR.

π/2 ist die kleinste positive Nullstelle des Cosinus

Es gibt folgende Formeln:



Nun musst du erkennen, welche der drei Formeln du verwenden musst. Bei a) hast du



Also kannst du die zweite Formel verwenden:



Alternativ kannst du die erste Formel verwenden:

Netterweise wurde schon das rechtwinklige Dreieck mit den Eckpunkten A,C und M eingezeichnet. Du weißt, dass im rechtwinkligen gilt: sin(20°)=r/AM (Der Sinus eines Winkels ist ja Gegenkathete durch Hypothenuse; der Winkel von 40° wird durch AM halbiert, weshalb man auf 20° kommt). Nun kannst du nach AM umformen und AM berechnen.

Du kannst dir leicht überlegen, dass die Kugel am meisten an dem Punkt herausragt, der sich direkt überhalb von M befindet. Diesen Punkt nennen ich einfach mal P.
Nun ergibt sich AP=AM+MP=AM+r. Wenn du jetzt noch 65mm abziehst, kommst du auf x.

Man kann keinen Wert angeben, wie oft sich das Vorderrad dreht. Man kann aber ein Ergebnis in Abhängigkeit des Umfangs U des Rads bzw. dem Radius R des Rads angeben:

So ist die Anzahl der Drehung N gleich 5500/U. Wenn man möchte kann man U auch "explizit" angeben und durch 2πR ersetzen. Das übersteigt aber das Niveau der vierten Klasse. Man könnte aber darauf kommen, dass der Umfang irgendwie von Radius amhängt.

Du kannst den x-Wert einfach in f einsetzen:

Da x-1 für x=1 gleich 0 ist, ist f auch schon 0. Deshalb verläuft der Graph durch (1,0)

Das ist leider kein gültiger Beweis. Du kannst von beiden Seiten einer Ungleichung Werte abziehen. Jedoch kannst du den Ausdruck |(-1)^n - a| nicht durch epsilon ersetzen. (Beispiel hierfür: 1 <= 10, 1 < 100, aber 100 <= 10 stimmt nicht, obwohl die Aussagen davor wahr sind)

Jetzt zu der Aussage, die du zeigen/ bzw. widerlegen sollst. Es gibt verschiedene Ansätze, die dich zur Lösung führen:

1. Falls ihr in der Vorlesung schon limsup und liminf kennengelernt hast, kannst du es hiermit machen. Diese existieren immer und falls der lim existiert, so gilt lim=limsup=liminf (Diese Aussage solltet ihr auch in der Vorlesung ghezeigt haben). Du kannst limsup und liminf ausrechnen und schauen, ob sie gleich sind. Falls sie nicht gleich sind, so konvergiert die Folge nicht.
2. Du kannst dir mal überlegen, welche Kandidaten es für den Grenzwert gäbe - schließlich sind es ja nicht viele. Nun kannst epsilon = 1 wählen. Also existiert ein N aus IN, sodass für alle n>=N gilt: |a_n - a|< epsilon = 1, wobei a der Grenzwertkandidat ist. Nun sollte a_N oder a_{N+1} die Ungleichung verletzen. Dies wirst du sehen.

Wenn (K, +, 0 ) deine abelsche Gruppe ist, ist (K\{0}, +) keine abelsche Gruppe, da kein neutrales Element vorhanden ist.

Falls man aber K={0,1} hat (und die abelsche Gruppe (K, +)), kann man für K\{0} die folgende Abbildung definieren:
* : K\{0} x K\{0} -> K\{0} , (1,1) |-> 1
Mit dieser Verknüpfung ist (K\{0}, *) eine abelsche Gruppe.

Du kannst die einzelnen Summanden durch 1/n nach unten abschätzen.
Dann hast du genau die geometrische Reihe stehen:

(Ich habe bei der zweiten reihe eine Indexverschiebung gemacht)
Die harmonische Reihe divergiert bekanntermaßen und damit auch deine Reihe.

Nein, lässt es sich nicht:

Angenommen für gegebene 4x4 Matrix A gilt:



Sei das Minimalpolynom zudem



Folglich ist die maximale Größe eines Jordanblockes 2.
Nun gibt es folgende Möglichkeiten für die Größe der Jordanblöcke:
2x Größe 2 und 0x Größe 1
oder 1x Größe 1 und 2x Größe 1

Folglich kann man die Jordanform einer Matrix nicht nur mit Hilfe des char. und min. Polynoms eindeutig bestimmen.

Wenn die Matrix aber nur Größe 3 oder weniger hat, kann man die Jordanform eindeutig bestimmen.

 Da pi nahe an 3 liegt, kann man den Flächeninhalt eines Kreises so annähernd berechnen.

Wie du richtig festgestellt hast gilt: bzw.

und bzw.

Wichtig: Es gibt nicht "die" Stammfunktion (bzw. Aufleitung) von einer Funktion. Es gibt unendlich viele Stammfunktion, da man eine beliebige Konstante c addieren kann, die beim Ableiten wieder wegfällt.

Du kannst das LGS Gaußen und dann den Lösungsraum bestimmen. Dieser ist ein affiner Unterraum, in dem alle Lösungen enthalten sind.

Wenn du zeigen möchtest, dass eine Funktion in einem Punkt x_0 nicht stetig ist, suchst du dir eine Folge a_n, die gegen x_0 konvergiert, aber f(a_n) konv. nicht gegen f(x_0).
Hierfür kannst du dir die Folge a_n definieren mit a_n = (1/n , 1/n^2). Diese Folge konvergiert gegen (0,0). Betrachten wir nun f(1/n , 1/n^2): also konvergiert f(a_n) gegen 1/e , was ungleich 0 ist.

Damit hast du gezeigt, dass f in (0,0) nicht stetig ist.

Du hast vergessen um den ersten Term Klammern zu setzen. Deswegen hast du nicht richtig ausmultipliziet.



Ja, man kann es Beweisen. Dafür muss man wissen, dass sich hinter 0, Periode 9 eine unendliche Reihe versteckt. Dies sprengt aber den Rahmen der Schulmathematik.

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern. Die 1 hat jedoch nur einen Teiler nämlich die 1.

Zudem wäre die Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen nicht mehr Eindeutig, wenn die 1 eine Primzahl wäre:



Das war nur ein Besipiel und geht analog mit anderen natürlichen Zahlen.

Die vollständige Induktion ist eine Beweistechnik, die gut dafür geeignet ist, eine Aussage für alle natürlichen Zahlen zu beweisen.

Dabei ist das Vorgehen folgendermaßen:

Man fängt mit dem Induktionsanfang an und zeigt, dass die Aussage für n=1 gilt.

Dann kommt die Induktionsvorrausetzung: Dabei Nimmt man an, dass die Aussage für ein beliebiges aber festes n gilt.

Nun kommt der Induktionsschritt. Hierbei zeigt man, dass wenn die Aussage für ein belibiges n gilt (oder ggf. auch für alle natürlichen Zahlen kleinergleich n), dass es auch für den Nachfolger n+1 gilt.

Wenn man die geschafft hat, hat man bewiesen, dass etwas für alle natürlichen Zahlen gilt.

Warum ist das ganze jetzt bewiesen und warum muss man nicht mehr machen?

Wir haben beispielsweise Aussahe A und wollen wisse, ob A(6) stimmt.

Nach dem Beweis mit vollständiger Ind. soll es also auch für 6 gelten.

Wir wissen, dass die A(1) wahr ist (das ist ja schon im Induktionsanfang bewiesen worden).

Außerdem wissen wir, dass wenn A(n) stimmt auch A(n+1) stimmt (das haben wir im Induktionsschritt gezeigt).

Also gilt auch A(2) und da A(2) stimmt auch A(3). Da A(3) wahr ist, gilt auch A(4), was wiederum A(5) impliziert. Deshalb gilt auch A(6). Dieses Muster zieht sich dann durch die gesamten natürlichen Zahlen durch.

Eine Analogie der Beweismethode sind Dominosteine. Wenn du weißt, dass ein Stein umfällt, wenn sein Vorgänger fällt und du weißt, dass ein Stein umgeworfen wird, dann fallen alle Steine danach.
(So ähnlich haben wir vollständige Induktion von unserem Professor erklärt bekommen ;) )

Falls du noch Beispiele haben magst, gib bescheid.

Die Diagonalen sind AC und BD.

Dabei ist AC=a+b und BD=b-a.

Nun betrachtest du das (Standart-)Skalarprodukt von AC und BD.

(Anmerkung: Du solltest das Skalarprodukt nutzen, wenn du zeigen willst, dass zwei Vektoren orthogonal aufeinander stehen. Dafür zeigst du, dass das Skalarprodukt 0 ist.)



Zur Notation: <a,b> ist das Skalarprodukt aus a und b.

Zur Rechnung:
Das Skalarprodukt ist symmetrisch: Also gilt <a,b> = <b,a>
Zudem ist es linear in beiden Komponenten: <a+b,c> = <a,c> + <b,c>

Da die Länge eines Vektors definiert ist durch:

Gilt:

Da bei einer Raute alle Seitenlängen gleich groß sind, ist |a|^2 = |b|^2