Kann ich nach Trennung Wohngeld beantragen wenn mein Kind nur zu 50% bei mir wohnt und kein Hauptwohnsitz gemeldet wurde?

Vor einigen Monaten habe ich mich nach einer schwierigen Zeit von dem Vater meines Kindes (3 Jahre alt) getrennt. Ich bin aus der gemeinsamen Wohnung ausgezogen und habe mit viel Glück eine kleine 3-Zimmer-Wohnung gefunden. Die Warmmiete beträgt inkl. Nebenkosten (ohne Strom) etwa 700€ - ein Preis der in dieser Gegend auch einer 2-Zimmer-Wohnung entspricht. Früher teilte ich die Miete mit meinem Partner, insgesamt zahlte ich dabei fast 500€ im Monat an Miete.

Da ich meinen Sohn schon immer so gut wie alleine betreut habe (Bringen und Abholen vom Kindergarten etc), konnte ich nur eine 50% Teilzeit-Stelle annehmen. Hier arbeite ich nun seit fast einem Jahr, das Gehalt beläuft sich auf 930€ netto. Vom Kindergeld werden die Kita-Kosten bezahlt. Nun verbringt mein Sohn die Hälfte der Zeit beim Vater, der schon immer besser verdient hat - Unterhalt kommt nicht in Frage da er ihn nun an genau so vielen Tagen im Monat betreut wie ich. Ich komme mit meinem Gehalt und den Mietkosten absolut nicht zurecht. Mein Sohn ist am Sonntag, Montag und Dienstag beim Vater, eine andere Arbeit, die ich an diesen Tagen in Vollzeit arbeiten könnte finde ich nicht. Ich wollte daher Wohngeld beantragen, wobei sich der Kindesvater weigert der Ummeldung unseres Sohnes zuzustimmen, womit das Kind den Hauptwohnsitz bei mir hätte. Könnte ich das Wohngeld auch bekommen, wenn ich nur Nebenwohnsitz für das Kind anmelde?

Ich komme leider mit der Situation nicht zurecht, weder habe ich Aussichten auf ein besseres Gehalt (zumal ich mein Kind von Mittwoch bis Freitag um 15 Uhr vom Kindergarten abholen muss), noch habe ich Anspruch auf Unterhalt. Ich habe schon versucht als Freiberuflerin nebenbei Geld zu verdienen, hier kommt aber zu wenig zusammen und da ich mir kein Auto leisten kann, bin ich sehr unflexibel. Etwas wie Wohngeld würde mich teilweise entlasten.

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