Bin ich verpflichtet die Post ,die nicht für mich adressiert ist,diese zuzustellen?

Der Briefträger hat wohl noch nicht registriert, dass es dort jetzt 2 Müller gibt. Dann würde ich in Absprache mit der neuen Nachbarin ein auffälliges Schild bei den Briefkästen anbringen, dass darauf hinweist, die Müller-Post richtig einzuwerfen. Ferner wäre es nützlich, auf den Namensschildern Vor- und Zunamen zu schreiben, und die Absender darauf hinweisen, immer Vor- und Zunamen auf die Sendungen zu schreiben.
Und wegen den 3 Wochen Urlaub: Meinst du nicht, dass nach 3 Wochen dein Briefkasten überquellen wird wenn den zwischenzeitlich niemand leert?
Meine Nachbarin und ich haben das Urlaubsproblem so gelöst, dass wir uns - auf nachbarschaftlicher Basis - angefreundet haben und jeder hat einen Zweitschlüssel vom Anderen. Wenn einer in Urlaub fährt, wird dem Nachbarn Bescheid gesagt, und diese kümmert sich um die Blumen und den Briefkasten des Urlaubers. Das klappt schon seit Jahren ganz gut.

Die Post anderer zu unterschlagen kann als Bereicherung gewertet werden, denn du hast den Irrtum offenkundig bemerkt. Also solltest du deinen Pflichten nachkommen und die Briefkästen eindeutig kennzeichnen / lassen. Und den Zusteller auf den Irrtum hinweisen. Wenn du die Post einbehältst, dann rechne nur damit dass die andere Person dieses genau so macht. Einfach weiter denken als bis zum Tellerrand.

Wenn solche Irrtümer auffallen, dann muss das aufgeklärt werden.

Bringe also ein gut sichtbares Schild am Briefkasten an.

Z.B.: Achtung Postzusteller*in: C. Müller ≠ K. Müller

Bitte keine Sendungen für K. Müller in diesen Briefkasten einwerfen oder hier abgeben! Danke!

Sinnvoll ist auch die Briefkastenschilder mit dem ganzen Vornamen zu markieren, damit der gesamte Name abgeglichen werden kann. Dafür solltest du die Vermietung oder Hausverwaltung informieren. Diese können dann auch einen entsprechenden Hinweis an die Zustellfirmen geben, dass in ihrem Haus besonders aufgepasst werden muss.