Also Folgendes:
Eine Kugel mit homogener Dichte d liegt mit ihrem Mittelpunkt bei {R, 0, 0} und diese rotiert dann um die z-Achse.
Jetzt dachte ich mir, dass man die Kugel in unendlich dünne Scheiben zerlegen und deren Trägheitsmomente aufsummieren könne.
Jede Scheibe hat einen Radius r', und daraus resultierend ein Trägheitsmoment von d*2Pi*(x²+r²)*r dr * dx in den Grenzen von 0 bis r'.
Dann erhält man zunächst Pi*(x²r² + r^4/2) dx.
(Denn jeder Punkt der Scheibe hat einen Abstand zur z-Achse von x²+r² und jeder Punkt eines Kreissegments der Scheibe hat diesen Abstand, weswegen man noch mit 2Pi multiplizieren muss).
Aber r' lässt sich ja durch die Funktion sqrt(R² - (x-R)²) = sqrt(2Rx - x²) beschreiben.
Wenn man diese Funktion jetzt in Pi*(x²r² + r^4/2) für r einsetzt und von 0 bis 2R über x integriert, erhält man 32Pi*d*R^5/15.
d = m/(4PiR³/3)
Daraus folgt I = 8mR²/5
Wieso sagt mir jetzt chatgpt die ganze Zeit, dass das Trägheitsmoment das normale Trägheitsmoment einer Kugel (2mR²/5) + mR² (Satz von Steiner) = 7mR²/5 sei, wo doch aus der Berechnung insgesamt 8mR²/5 herauskommt?
Was ist nun richtig?
Oma
